Урок и презентация на тему: "График функции квадратного корня. Область определения и построение графика"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронное учебное пособие к учебнику Мордковича А.Г.
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса
График функции квадратного корня
Ребята, с построением графиков функций мы с вами уже встречались, и не раз. Мы строили множества линейных функций и парабол . В общем виде любую функцию удобно записать, как $y=f(x)$. Это уравнение с двумя переменными - для каждого значения x мы получаем y. Выполнив некоторую заданную операцию f, мы отображаем множество всех возможных x на множество y. В качестве функции f мы можем записывать практически любую математическую операцию.Обычно при построении графиков функций мы пользуемся таблицей, в которой записываем значения х и у. Например, для функции $y=5x^2$ удобно использовать следующую таблицу: Отметим полученные точки на декартовой системе координат и аккуратно соединим их гладкой кривой. Наша функция не ограничена. Только этими точками мы можем подставить совершенно любое значение х из заданной области определения, то есть тех х, при которых выражение имеет смысл.
На одном из прошлых уроков мы изучили новую операцию извлечения корня квадратного . Возникает вопрос, а можем ли мы, используя эту операцию, задать какую-нибудь функцию и построить ее график? Воспользуемся общим видом функции $y=f(x)$. y и х оставим на своем месте, а вместо f введем операцию корня квадратного: $y=\sqrt{x}$.
Зная математическую операцию, мы смогли задать функцию.
Построение графика функции квадратного корня
Давайте построим график этой функции. Исходя из определения корня квадратного, мы можем вычислять его только из неотрицательных чисел, то есть $x≥0$.Составим таблицу:
Отметим наши точки на координатной плоскости.
Нам осталось аккуратно соединить полученные точки.
Ребята, обратите внимание: если график нашей функции повернуть на бок, то получится левая ветка параболы. На самом деле, если строчки в таблице значений поменять местами (верхнюю строчку с нижней), то у нас получаться значения, как раз для параболы.
Область определения функции $y=\sqrt{x}$
Используя график функции, свойства описать довольно таки просто.1. Область определения: $$.
б) $$.
Решение.
Мы можем решить наш пример двумя способами. В каждой букве опишем разные способы.
А) Вернемся к графику функции, построенному выше, и отметим требуемые точки отрезка. Хорошо видно, что при $х=9$ функция больше всех остальных значений. Значит и наибольшее значение она достигает в этой точке. При $х=4$ значение функции ниже всех остальных точек, а значит, тут и есть наименьшее значение.
$y_{наиб}=\sqrt{9}=3$, $y_{наим}=\sqrt{4}=2$.
Б) Мы знаем, что наша функция возрастающая. Значит, каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение достигаются на концах отрезка:
$y_{наиб}=\sqrt{11}$, $y_{наим}=\sqrt{2}$.
Пример 2.
Решить уравнение:
$\sqrt{x}=12-x$.
Решение.
Проще всего построить два графика функции и найти их точку пересечения.
На графике хорошо видна точка пересечения с координатами $(9;3)$. А значит, $х=9$ - решение нашего уравнения.
Ответ: $х=9$.
Ребята, а можем ли мы быть уверены, что больше решений у этого примера нет? Одна из функций возрастает, другая - убывает. В общем случае, они либо не имеют общих точек, либо пересекаются только в одной.
Пример 3.
Построить и прочитать график функции:
$\begin {cases} -x, x 9. \end {cases}$
Нам нужно построить три частных графика функции, каждый на своем промежутке.
Опишем свойства нашей функции:
1. Область определения: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $х=0$ и $х=12$; $у>0$ при $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функция убывает на отрезках $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функция возрастает на отрезке $(0;9)$.
4. Функция непрерывна на всей области определения.
5. Наибольшего и наименьшего значения нет.
6. Область значений: $(-∞;+∞)$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке:а) $$;
б) $$.
2. Решить уравнение: $\sqrt{x}=30-x$.
3. Построить и прочитать график функции: $\begin {cases} 2-x, x 4. \end {cases}$
4. Построить и прочитать график функции: $y=\sqrt{-x}$.
Здравствуйте!
Сегодня у нас необычное занятие. Мы проведем математический урок здоровья.
Вместе с «закреплением» математических знаний мы вспомним основные секреты здоровья.
А эпиграфом урока будут слова «Великая книга здоровья написана математическими символами»
Как вы понимаете эти слова?
Без математических знаний невозможна ни одна наука и даже такая, как наука о здоровье. И в этом мы сегодня убедимся.
Итак, на прошлом уроке мы познакомились с функцией
, её свойствами и графиком.
Подпишите число и тему урока.
Предлагаю вам в процессе опроса определить, какие знания вам сегодня необходимо вспомнить и применить?
2. Актуализация теоретических знаний (фронтальный опрос) (5 мин.)
Задание: Дополнить фразы.
А) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется…
В) Выражение не имеет смысла при …
С) Графиком функции является…
D ) Функция имеет отличительные…
E ) По графику функцииможно определить…
Какие мы для себя поставим задачи?
Задачи: совершенствовать умение строить график функции вида y=
, повторить свойства этой функции, проверить усвоение материала по нахождению квадратных корней, через решение выражений и уравнений.
Как вы заметили буквы, обозначающие последовательность фраз - заглавные латинские. В медицине так обозначаются витамины. В данном перечне представлена группа витаминов, которые присутствуют во многих продуктах питания и помогают вам хорошо видеть, быть стойкими перед простудными заболеваниями и стрессовыми ситуациями.
Поэтому, первое правило здоровья - это здоровое и правильное питание.
- Чтобы открыть второй секрет здоровья, сядем правильно и вместе поиграем в математическое лото.
Вычислительная разминка. (8 мин.)
Игра «Математическое лото»
Вычислить 
Вычислите, укажите правильный ответ 
Какое целое число заключено между 
и 
Что больше 
, 
; 3,2 ?
Найти наибольшее значение функции y= на отрезке от 1 до 25
Решить уравнение 
=4
Найти наибольший корень уравнения 
x2 = 4
Вычислить 
Вычислить 
+ 
Вычислить 
Найти сторону квадрата, если его площадь равна 64 см2
Найти периметр квадрата, если его площадь равна 9 см2
-Второй секрет здоровья - режим дня . Это правильное сочетание и чередование труда, занятий и отдыха. В рубрике «Это интересно!» мы узнаем о режиме дня известного математика.
4. Это интересно! (3 мин.)
Пифагор едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Математик, механик, музыкант, олимпийски чемпион древности, имя ни одного ученого не повторяется так часто. Он учредил свою школу, учеников школы называли пифагорейцами. Попасть в пифагорейскую школу было очень трудно. Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы шли на морской берег встречать рассвет, делали гимнастические упражнения, завтракали. В конце дня совершали совместные прогулки, морское купание и ужинали, а после ужина - молились богам и читали.
И мы с вами не будем нарушать режим и немного отдохнём. Сядем удобно и следим глазами за шайбой.
5.Физминутка для глаз (2 мин.)
Эта физминутка даёт подсказку о третьем секрете здоровья. О каком?
- Занятие спортом, постоянное движение.
И сейчас мы устроим своеобразное математическое соревнование между парами по проверке ваших знаний по теме урока.
6. Отработка знаний, умений, навыков (10 мин.)
1. Работа в парах (формирование 3 пар).
Задание: найти неточность в предложенных свойствах функции 
, отметить выбранный вариант флажком вашей пары, по возможности первыми, и обязательно дать правильную формулировку свойства, иначе ответ переходит следующей паре:
Область определения функции - множество неотрицательных чисел (х≥0).
Область значений функции - множество Z.
3. Функция возрастает.
4. y=0 при x=0; y<0 при x<0; y>0 при x>0
5.Нет наибольшего и наименьшего значения функции.
6. График функции симметричен графику функции у = х², где х≥0 относительно прямой у = х.
7. Практическое применение знаний (10 мин.)
Задание в учебнике № 357 с.84:
Решить графически уравнение один обучающийся у доски с устным объяснением этапов решения.
8. Рефлексия (3 мин.)
Заканчивается наш урок, подведем итоги.
Вам было интересно?
Какие знания и умения должны были применить на уроке?
Что нового открыли для себя на уроке.
А как настроение? Влияет ли настроение на здоровье? Вот и последний секрет - «хорошее настроение».
Положительные эмоции тоже необходимы для здорового образа жизни. Сегодня на занятии вы испытали радость познания, удовлетворенность своими успехами, доброжелательность в общении. Здоровье - это бесценное достояние не только каждого отдельно взятого человека, но и всего общества.
Давайте посмотрим друг на друга, улыбнёмся и этот положительный заряд эмоции возьмём с собой на следующий урок.
Берегите себя, свое здоровье и тогда математические задачи будут решаться быстрей и легче.
9. Домашнее задание (1 мин.)
п.15 № 365; № 367;
№ 344(а).
Спасибо за урок!
Республика Татарстан, Черемшанский район, с. Черемшан
МБОУ «Черемшанский лицей»
Тема урока: «Функция у = √х, ее свойства и график»
Сахабиева Эльвира Маратовна
Учитель математики
МБОУ «Черемшанский лицей»,
с. Черемшан
2015-2016 г.
Функция у = √х, ее свойства и график
Тип урока: Урок по ознакомлению с новым материалом.
Вид урока: комбинированный.
Класс: 8
Цель урока:
Задачи:
Образовательные
- Закрепить умения находить значения выражений, содержащих корень квадратный.
- Учить анализировать и находить правильное решение проблемной ситуации.
Воспитательные
- Воспитывать познавательную активность, чувство ответственности, культуру математической речи, графической культуры, сознательное отношение к учению.
Развивающие
- Развивать логическое мышление, наблюдательность, графические навыки.
Оборудование к уроку: Презентация Power Point
УМК: Алгебра 8 класс, Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк,К. И. Нешков, С.Б. Суворова,2-е изд.-М.: Просвещение,2014.-287с.
Ход урока
- Организационный момент
Слайд 1 .Приветствие учащихся, Девиз урока … Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит… М.В.Ломоносов
- Актуализация опорных знаний.
Фронтальная работа с классом:
Слайд 2. 1). Ребята, а давайте вспомним определение арифметического квадратного корня (Ариф.квадратным корнем из числа а наз-ся неотрицательное число, квадрат которого равен а)
Значит важное условие здесь а>0
2) Устная работа
Слайд 3.
а) Верно ли, что:
= 0,3; (Ответ учащихся: да)
= 0,5; (Ответ учащихся: нет)
= 4?
(Ответ учащихся: нет), (Ответ учащихся: да)
Слайд 4. б) Выберите иррациональное число среди чисел ; (=0,8 рациональное число и т.д.)
(Это нужно прорешать у доски)
Слайд 5. в) Вычислите:
7 ; нет решения. =
3. Обобщение и систематизация знаний. (С места по желанию)
Слайд 6 . А теперь вычислим площадь квадрата со стороной, равной
Вспомним чему равна площадь квадрата?(, S= . =18)
Здесь вычислите площадь прямоугольника со сторонами и
Вспомним площадь прямоугольника (S=a*b, S= . =14*5=70)
Вычислим площадь прямоугольного треугольника, катеты которого
4. Проверка знаний и умений учащихся для подготовки к новой теме.
Слайд 7. Ребята посмотрите пожалуйста на формулы.
Кто помнит название этой функции. (линейная, квадратичная).
Вспомним что является графиком этой функции? (прямая и парабола)
Назовите независимые переменные (они находятся внутри формулы), а зависимые переменные (они находятсяся отдельно)?
Слайд 8. - Сегодня мы с вами рассмотрим новую функцию у =
(Давайте определим независимую переменную и зависимую переменную и какие значения они принимают? )
Слайд 9.- Тема урока : Функция у = , её свойства и график.
Слайд 10. Цель урока:- Мы должны изучить свойства и график функции у = .
Слайд.11. Для этого определим несколько значений этой функции и построим таблицу.
Соединим точки плавной линией (рука идет слева направо)
Слайд 12. Посмотрите через какие точки проходит график?
В каких четвертях будет расположен график функции у = ?
График нужно рассматривать слева направо, график идет вверх, значит функция возрастает.
5.Закрепление знаний
Слайд 13.
Устно найти значение функций на слайде
№355 (Пользуясь графиком в учебнике на стр.85 рис.17 найти значение и составить таблицу)
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1
ст. Брюховецкой
муниципального образования Брюховецкий район
Учитель математики
Гученко Анжела Викторовна
2014 год
Функция у =
, ее свойства и график
Тип урока: изучение нового материала
Цели урока:
Задачи, решаемые на уроке:
научить учащихся самостоятельно работать;
высказывать предположения и догадки;
уметь делать обобщение изучаемых факторов.
Оборудование: доска, мел, мультимедийный проектор, раздаточный материал
Хронометраж урока.
Определение темы урока совместно с учащимися – 1мин.
Определение целей и задач урока совместно с учащимися – 1мин.
Актуализация знаний (фронтальный опрос) – 3мин.
Устная работа - 3мин.
Объяснение нового материала, построенное на создании проблемных ситуаций - 7мин.
Физминутка – 2мин.
Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях и определением свойств функции, работа с учебником – 10мин.
Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразований графиков – 9мин .
Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.
Задание на дом – 1мин.
Итого 40 минут.
Ход урока.
Определение темы урока совместно с учащимися (1мин).
Тема урока определяется учащимися при помощи наводящих вопросов:
функция - работа, производимая органом, организмом в целом.
функция - возможность, опция, умение программы или прибора.
функция - обязанность, круг деятельности.
функция персонажа в литературном произведении.
функция - вид подпрограммы в информатике
функция в математике - закон зависимости одной величины от другой.
Определение целей и задач урока совместно с учащимися (1мин).
Учитель при помощи учащихся формулирует и проговаривает цели и задачи данного урока.
Актуализация знаний (фронтальный опрос – 3мин).
Устная работа – 3 мин.
Фронтальная работа.
(А и В принадлежат, С нет)
Объяснение нового материала (построено на создании проблемных ситуаций – 7мин).
Проблемная ситуация: описать свойства неизвестной функции.
Разбить класс на команды по 4-5 человек, раздать бланки для ответов на поставленные вопросы
Бланк №1
у=0, при х=?
Область определения функции.
Множество значений функции.
На каждый вопрос отвечает один из представителей команды, остальные команды голосуют «за» или «против» сигнальными карточками и, если нужно, дополняют ответы одноклассников.
Вместе с классом сделать вывод об области определения, множестве значений, нулях функции у=.
Проблемная ситуация : попробовать построить график неизвестной функции (идет обсуждение в командах, поиск решения).
С учителем вспоминается алгоритм построения графиков функций. Учащиеся командами пробуют изобразить график функции у= на бланках, затем обмениваются бланками друг с другом для само- и взаимопроверки.
Физминутка (Клоунада)
Построение графика вместе с классом с оформлением построения в тетрадях – 10мин.
После общего обсуждения выполняется задание построения графика функции у= индивидуально каждым учеником в тетради. Учитель в это время оказывает дифференцированную помощь учащимся. После выполнения задания учащимися на доске показывается график функции и учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:
Вывод: вместе с учащимися сделать еще раз вывод о свойствах функции и прочитать их по учебнику:
Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразования графика – 9мин.
Учащиеся работают по своей карточке (по вариантам), затем меняются и проверяют друг друга. После на доске показываются графики, и учащиеся оценивают свою работу, сравнивая с доской.
Карточка №1
Карточка №2
Вывод: о преобразованиях графика
1) параллельный перенос вдоль оси ОУ
2) сдвиг вдоль оси ОХ.
9. Подведение итогов урока, установление обратной связи – 3мин.
СЛАЙДЫ – вставить пропущенные слова
Область определения данной функции, все числа, кроме…(отрицательных).
График функции расположен в … (I) четверти.
При значении аргумента х = 0, значение… (функции) у = …(0).
Наибольшее значение функции… (не существует), наименьшее значение - …(равно 0)
10. Задание на дом (с комментариями – 1 мин).
По учебнику - §13
По задачнику – №13.3, №74 (повторение неполных квадратных уравнений)
Тема урока: Функция у = , ее свойства и график.
Тип урока : изучение нового материала.
Цели урока:
Задачи, решаемые на уроке:
научить учащихся самостоятельно работать;
высказывать предположения и догадки;
уметь делать обобщение изучаемых факторов.
Оборудование : доска, мел, мультимедийный проектор, раздаточный материал.
Хронометраж урока.
Создание проблемной ситуации (работа по слайдам) -2мин
Определение темы урока совместно с учащимися – 1мин.
Актуализация знаний (фронтальный опрос) (работа по слайдам) -2мин
Постановка целей и задач урока совместно с учащимися – 1мин.
Работа в группах, построенная на создании проблемных ситуаций (работа текстом) -10мин
Защита выполненных заданий- 9мин.
Динамическая пауза– 2мин.
Устная работа по графику на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции- 2мин.
Самостоятельная работа в группах по построению графика и перечислению свойств функции у= - . (Закрепление полученных знаний и отработка навыков преобразований графиков) – 10мин .
Момент занимательности. Математика и пословицы - 3мин
Подведение итогов урока, задание на дом– 2мин.
Рефлексия– 1мин.
Итого 45 минут.
Ход урока.
Создание проблемной ситуации (работа по слайдам)
Учащимся на слайде показывается график «розы ветров», кардиограмма.
Вопрос классу: Что изображено на слайдах? О чем пойдет речь на уроке? – о графиках.
Актуализация знаний (фронтальный опрос)
Работа по слайдам.
Вопрос: Какие графики изображены на слайде?
Перечислите название функций их определяющих.
Есть ли среди них не знакомые вам? – у=
Знаете ли свойства и его график? - нет
3 . Определение темы урока совместно с учащимися.
4. Постановка целей и задач урока совместно с учащимися.
Учащиеся формулирует и проговаривает цели и задачи урока.
5. Проблемная ситуация.
Самостоятельное изучение нового материала. Групповая работа.
Каждая группа получает специальные бланки с заданиями.
Задание 1 группе. Задача. Найти площадь s и сторону квадрата a. Определить зависимость между переменными, записать соответствующую формулу.
Задание 2 группе . Изучить построение нового графика функции у= и его свойства.
Задание 3 группе . Рассмотреть особенности расположения графиков функции у=х 2 и у= .
6. Ответы учащихся .
Учащиеся выходят к доске командами и объясняют разобранный материал. Учитель корректирует ответы учащихся.
Вывод: вместе с учащимися сделать еще раз вывод о свойствах функции и прочитать их по учебнику:
7. Динамическая пауза.
Группам раздаются конверты с заданиями. Найти соответствие между формулой, графиком и названием функции. Учащиеся должны быстро построится в соответствии с ответами задания:
У=3х+2, у= , у=2х 2 +4, у=5/х; линейная, квадратичная, степенная, обратная пропорциональность, парабола, гипербола, прямая, корень из х.
8. Устная работа с классом. На слайде показывается график функции У= .
Вопрос: найти наибольшее и наименьшее значение функции у= на интервале .
9. Самостоятельная работа. Взаимопроверка.
Построить график функции у=- ,перечислить его свойства. Каждый индивидуально строит график в тетрадях. Далее учащиеся обмениваются тетрадями и осуществляют взаимопроверку. В конце урока учитель собирает тетради и проверяет сам насколько точно и аккуратно были построены графики.
10. Момент занимательности .
Вопрос.Как вы думаете есть ли связь между математикой и пословицами? Предлагаю посмотреть следующие слайды,на которых изображены графики и соответствующие им пословицы. Например, « Любишь кататься,люби и саночки возить», « Кашу маслом не испортишь», « Чем дальше в лес,тем больше дров» и другие.
11.Подведение итогов урока. Дом задание. № 98,99,100.
12. Рефлексия « Окно».