Преобразования случайных величин

По каждой случайной величине Х определяют еще три величины – центрированную Y , нормированную V и приведенную U . Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y ) = 0, D (Y ) = D (X ). Функция распределения F Y (x ) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F (x ) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x ) = F (x + M (X )).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x ) = f (x + M (X )).

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:

,

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х . Для функции распределения F V (x ) и плотности f V (x ) нормированной случайной величины V имеем:

где F (x ) – функция распределения исходной случайной величины Х , а f (x ) – ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:

.

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b , где a и b – некоторые числа, то

Пример 7. Если то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y , заданных формулой Y = aX + b при различных a > 0 и b . Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством , порожденным случайной величиной Х . Функции распределения F Y (x ) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F (x ). Вместо Y = aX + b часто используют запись

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с , а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины Х рассматривают Y = lg X , где lg X – десятичный логарифм числа Х . Цепочка равенств

F Y (x) = P(lg X < x) = P(X < 10 x) = F(10 x)

связывает функции распределения Х и Y .

66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности преобразованной величины через плотность исходной случайной величины, можно обобщить на случай преобразования случайных величин. Пусть случайные величины имеют совместную плотность, и заданы функций, переменных. Необходимо найти совместную плотность вероятности случайных величин:

Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием - число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений, относительно переменных. При этом каждое зависит от. Совокупность таких функций, образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Пусть, - - я ветвь обратного преобразования, тогда справедливо соотношение:

где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,

Якобиан преобразования от случайных величин к случайным величинам.

Если из каждой совокупности случайных величин получается случайных величин, то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему до случайных величин, например, такими величинами. Если же, то случайных величин из совокупности функционально связаны с остальными величинами, поэтому - мерная плотность будет содержать дельта-функций.

Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности совокупности случайных величин, полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин с совместной плотностью вероятности. Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении -мерного интеграла по сложной области. Во втором методе основная трудность - это нахождение всех ветвей обратного преобразования.

66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин и с плотностью по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму: , а в качестве второй (хотя можно взять и). Таким образом, функциональное преобразование от, к, задается системой уравнений:

Обратное преобразование - это решение системы уравнений относительно, :

Обратное преобразование однозначно, поэтому в (66.2) сумма состоит из одного слагаемого. Найдем якобиан преобразования:

Теперь (66.2) для принимает вид:

Функция - это совместная плотность вероятности случайных величин и. Отсюда плотность вероятности суммы находится из условия согласованности:

Рассмотрим первый метод решения этой же задачи. Из (64.4) следует:

Задача сводится к преобразованию интеграла по области, определяемой условием. Этот интеграл можно представить в виде:

Отсюда плотность вероятности:

Отсюда плотность вероятности:

что совпадает с формулой (66.7).

Хи - квадрат распределение вероятностей

67.1. Хи - квадрат распределением с степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины, где - независимые случайные величины и все - гауссовы с математическим ожиданием и дисперсией. В соответствии с формулой (64.3) функция распределения вероятностей случайной величины равна

где - совместная плотность вероятности величин. По условию - независимые, поэтому равна произведению одномерных плотностей:

Из (67.1), (67.2) следует, что плотность вероятности случайной величины определяется выражением:

Анализ этого выражения, видимо, представляет собой наиболее простой способ нахождения, поскольку здесь и (67.3) можно представить в виде:

Здесь интеграл равен объему области - мерного пространства, заключенной между двумя гиперсферами: - радиуса и - радиуса. Поскольку объем гиперсферы радиуса пропорционален, т.е. , то

Объем между двумя гиперсферами с радиусами и, что и определяет с точностью до множителя интеграл (67.4). Подставим (67.5) в (67.4), тогда

где - постоянная, которая может быть определена из условия нормировки:

Подставим (67.6) в (67.7), тогда

Пусть, тогда интеграл (67.8)

где - гамма - функция аргумента. Из (67.8) и (67.9) определяется постоянная, подстановка которой в (67.6) приводит к результату

67.2. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Из (67.11)

Аналогично среднее квадрата величины равно

Из (67.12), (67.13) дисперсия

67.3. В задачах математической статистики важное значение имеют распределения вероятностей, связанные с нормальным распределением. Это прежде всего - распределение (распределение Пирсона), - распределение (распределение Стьюдента) и - распределение (распределение Фишера). Распределение - это распределение вероятностей случайной величины

где - независимы и все.

Распределением Стьюдента (или - распределением) называется распределение вероятностей случайной величины

где и - независимые случайные величины, и.

Распределением Фишера (- распределением) с, степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям

Распределение Максвелла по скоростям молекул газа представляет собой плотность распределения вероятностей модуля скорости и определяется соотношением

где - число молекул газа, число молекул, модуль скорости которых лежит в интервале, - газовая постоянная, - абсолютная температура газа. Отношение - это вероятность того, что модуль скорости молекулы лежит в интервале, тогда - плотность вероятности модуля скорости.

Распределение (68.1) может быть получено на основе следующих двух простых вероятностных положений, задающих модель идеального газа. 1). Проекции скорости на оси декартовой системы координат являются независимыми случайными величинами. 2). Каждая проекция скорости - гауссова случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Параметр задается на основе экспериментальных данных.

Определим плотность вероятности случайной величины

Очевидно, имеет хи - квадрат распределение с тремя степенями свободы. Поэтому ее плотность вероятности определяется формулой (67.11) при:

поскольку. Итак, (68.3) - это плотность вероятности квадрата относительной скорости.

Следующий шаг состоит в переходе от распределения квадрата скорости к распределению ее модуля, . Функциональное преобразование имеет вид: , а обратное, для, . Таким образом, обратное преобразование однозначное. Поэтому по (65.1) плотность распределения модуля имеет вид

Последний шаг состоит в переходе от случайной величины к новой случайной величине

Обратное преобразование - однозначное, поэтому плотность вероятности случайной величины, согласно (65.1) принимает вид

что и совпадает с формулой (68.1).

Соотношение (68.5), определяющее связь относительной и абсолютной скоростей и, следует из третьего положения модели идеального газа, которое является чисто физическим условием, в отличие от первых двух вероятностных условий. Третье условие может быть сформулировано как утверждение относительно значения средней кинетической энергии одной молекулы в виде равенства

где - постоянная Больцмана и представляет, по сути, экспериментальный факт. Пусть, где - постоянная, которая далее определяется условием (68.7). Для нахождения определим из (68.4) среднее квадрата относительной скорости:

Тогда средняя кинетическая энергия молекулы, где - масса молекулы, и с учетом (68.7) , или.

Задача установления закона распределения функции от случайных величин по заданному закону распределения аргументов является основной. Общая схема рассуждений здесь следующая. Пусть - закон распределения Тогда очевидно имеем где - полный прообраз полуинтервала, т.е. совокупность тех значений вектора £ из ЗГ, для которых. Последняя вероятность легко может быть найдена, так как закон распределения случайных величин £ известен Аналогично, в принципе, может быть найден закон распределения и векторной функции случайных аргументов. Сложность реализации схемы зависит только от конкретного вида функции (р и закона распределения аргументов. Настоящая глава посвящена реализации схемы в конкретных, важных для приложений, ситуациях. §1. Функции одного переменного Пусть £ - случайная величина, закон распределения которой задан функцией распределения F((x), rj = Если F4(y) функция распределения случайной величины rj, то приведенные выше соображения дают ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН где через у) обозначен полный прообраз полу- прямой (-оо, у). Соотношение (I) является очевидным следствием (*) и для рассматриваемого случая проиллюстрировано на рис. 1. Монотонное преобразование случайной величины Пусть (p(t) - непрерывная монотонная функция (для определенности - монотонно невозрастающая) и г) = - Для функции распределения Fn(y) получаем (здесь - функция, обратная к существование которой обеспечивается монотонностью и непрерывность. Для монотонно неубывающей) аналогичные выкладки дают В частности, если - линейна, то при а > О (рис. 2) Линейные преобразования не меняют характера распределения, а сказываются лишь на его параметрах. Линейное преобразование равномерной на [а, Ь] случайной величины Пусть Линейное преобразование нормальной случайной величины Пусть и вообще, если Пусть, например, 0. Из (4) заключаем, что Положим в последнем интеграле Эта замена дает Важное тождество, являющееся источником многих интересных приложений, может быть получено из соотношения (3) при Лемма. Если - случайная величина с непрерывной функцией распределения F^(x), то случайная величина г) = - равномерна на . Имеем - монотонно не убывает и заключена в пределах о Поэтому ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН На промежутке же получаем Одним из возможных путей использования доказанной леммы является, например, процедура моделирования случайной величины с произвольным законом распределения F((x). Как следует из леммы, для этого достаточно уметь получать значения равномерной на }