Определение . Если функция f (x ) определена на отрезке [a, b ], непрерывна в каждой точке интервала (a, b ), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ].
Другими словами, функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], если выполнены три условия:
1) "x 0 Î(a, b ): f (x ) = f (x 0);
2) f (x ) = f (a );
3) f (x ) = f (b ).
Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств.
Теорема 1 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.
Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b ] найдется такая точка x 1 , что f (x 1) £ f (x ) для любых x из [a, b ] и что найдется точка x 2 (x 2 Î[a, b ]) такая, что "x Î[a, b ] (f (x 2) ³ f (x )).
Значение f (x 1) является наибольшим для данной функции на [a, b ], а f (x 2) – наименьшим. Обозначим: f (x 1) = M , f (x 2) = m . Так как для f (x ) выполняется неравенство: "x Î[a, b ] m £ f (x ) £ M , то получаем следующее следствие из теоремы 1.
Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], в которой функция обращается в 0, т.е. $x 0 Î (a, b ) (f (x 0) = 0).
Эта теорема утверждает, что график функции y = f (x ), непрерывной на отрезке [a, b ], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f (a ) и f (b ) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f (a ) > 0, f (b ) < 0 и функция f (x ) обращается в 0 в точках x 1 , x 2 , x 3 .
Теорема 3 . Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], f (a ) = A , f (b ) = B и A ¹ B . (рис. 1.17). Тогда для любого числа C , заключенного между числами A и B , найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], что f (x 0) = C .
Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], m – наименьшее значение f (x ), M – наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a, b ], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m , заключенное между m и M , а потому отрезок [m, M ] является множеством всех значений функции f (x ) на отрезке [a, b ].
Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b ) или имеет на отрезке [a, b ] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными.
В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции.
Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.
Теорема 4 . Пусть f (x ) непрерывна на промежутке X , возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y . Тогда для функции y = f (x ) существует обратная функция x = j (y ), определенная на промежутке Y , непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X .
Замечание . Пусть функция x = j (y ) является обратной для функции f (x ). Так как обычно аргумент обозначают через x , а функцию через y , то запишем обратную функцию в виде y = j (x ).
Пример 1 . Функция y = x 2 (рис. 1.8, а) на множестве X = , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .
Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .
Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .
Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .
Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.
Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .
Решение. Находим производную данной функции как производную частного:
.
Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :
Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.
Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём
.
Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться
Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума
функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x) Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума
функции `f`. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 5.1 (Ферма)
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`. Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна. Замечание. Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими
.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие. Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой. Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`. 1) Функция `y=f(x)` возрастает
2) Функция `y=f(x)` убывает
на `I`, если для любых `x,yinI`, `x Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна
на промежутке `I`. Условия монотонности
. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Условия экстремума
. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`. Пример 5.1 Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения. Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет. Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример 5.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``. а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Замечание Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Пример 5.3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`. Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: `y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
Непрерывность функции на отрезке.
Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках. Функция f (x) называется непрерывной на интервале (a , b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a , b ], если она непрерывна на интервале (a , b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b . Функция
называется
непрерывной на отрезке
, если она является непрерывной в интервале
, непрерывной справа в точке
, то есть
и непрерывной слева в точке
, то есть
.
Замечание.
Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1) Множество функций, непрерывных на отрезке [ a , b ] обозначается символом C [ a , b ]. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Теорема 1
( об ограниченности непрерывной функции ).
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что "
x О
[ a , b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C .
Наибольшее значение M обозначается символом max x О
[ a , b ]
f (x), а наименьшее значение m — символом min x О
[ a , b ]
f (x). СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Рассмотрим некоторые
свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без
доказательства. Функцию y = f(x)
называют непрерывной на отрезке
[a
, b
], если она непрерывна во
всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a
и b
, непрерывна соответственно
справа и слева. Теорема 1.
Функция, непрерывная на отрезке [a
, b
], хотя бы в одной точке этого
отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее. Теорема утверждает, что если
функция y = f(x)
непрерывна
на отрезке [a
, b
], то найдётся хотя бы одна
точка x 1
Î
[a
, b
] такая, что значение
функции f(x)
в
этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x 1) ≥ f(x)
.
Аналогично найдётся такая точка x 2
, в которой значение функции
будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x 1) ≤ f(x)
. Ясно, что таких
точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x)
принимает наименьшее значение в двух точках x 2
и x
2 ". Замечание
. Утверждение теоремы можно
стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a
, b
). Действительно, если
рассмотреть функцию y = x
на (0, 2), то она
непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни
наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы
не принадлежат нашей области. Также теорема перестаёт
быть верной для разрывных функций. Приведите пример. Следствие.
Если функция f(x)
непрерывна на [a
, b
], то она ограничена на этом
отрезке. Теорема 2.
Пусть функция y = f(x)
непрерывна на отрезке [a
, b
] и на концах этого отрезка
принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка
найдется, по крайней мере, одна точка x = C
, в которой функция
обращается в ноль: f(C)
= 0, где a < C< b Эта теорема имеет простой
геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x)
,
соответствующие концам отрезка [a
, b
] лежат по разные стороны от
оси Ox
, то этот график хотя бы в
одной точке отрезка пересекает ось Ox
.
Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает
следующее обобщение. Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях).
Пусть функцияy = f(x)
непрерывна на отрезке [a
, b
] и f(a) = A
, f(b) = B
. Тогда для любого числа C
, заключённого между A
и B
, найдётся внутри этого
отрезка такая точка C
Î [a
, b
], что f(c) = C
. Эта теорема геометрически
очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x)
.
Пусть f(a) = A
, f(b) = B
. Тогда любая прямая y = C
, где C
– любое число, заключённое
между A
и B
, пересечёт график функции,
по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем
значением x = C
, при котором f(c) = C
. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к
другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие.
Если функция y = f(x)
непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения,
то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение,
заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть имеем
некоторую функцию y=f(x),
определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента x
из этого промежутка функция y=f(x)
имеет
определенное значение. Рассмотрим два значения аргумента: исходное x
0 и новое x
. Разность x– x
0 называется приращением аргумента x
в точке x
0 и обозначается Δx
. Таким образом, Δx = x – x
0 (приращение аргумента может
быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x
0 +Δx
, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение.
Тогда, если в точке x
0 значение функции было f(x
0 ),
то в новой точке x
функция будет принимать
значение f(x) = f(x
0 +Δx)
. Разность y – y
0 = f(x) – f(x
0 )
называется
приращением функции
y = f(x)
в
точке x
0 и обозначается символом Δy
. Таким образом, Обычно исходное
значение аргумента x
0 считается фиксированным, а новое
значение x
– переменным. Тогда y
0 = f(x
0 )
оказывается
постоянной, а y = f(x)
–
переменной. Приращения Δy
и Δx
также будут переменными и формула
(1) показывает, что Dy
является функцией переменной Δx
. Составим
отношение приращения функции к приращению аргумента Найдем предел этого
отношения при Δx
→0. Если этот предел
существует, то его называют производной данной функции f(x)
в
точке x
0 и обозначают f
"(x
0).
Итак, Производной
данной функции y = f(x)
в
точке x
0 называется предел отношения
приращения функции Δy
к приращению аргумента Δx
, когда последнее произвольным образом
стремится к нулю. Заметим, что для
одной и той же функции производная в различных точках x
может принимать различные
значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x
. Эта функция обозначается f
"(x
) Производная
обозначается символами f
"(x),y
", . Конкретное значение производной при x = a
обозначается f
"(a
) или
y
"| x=a
. Операция
нахождения производной от функции f(x)
называется
дифференцированием этой функции. Для непосредственного
нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило
: Примеры.
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Из физики известно,
что закон равномерного движения имеет вид s = v·t
, где s
– путь, пройденный к
моменту времени t
, v
– скорость равномерного движения. Однако, т.к.
большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае
скорость, а, следовательно, и расстояние s
будет зависеть от времени t
,
т.е. будет функцией времени. Итак, пусть
материальная точка движется по прямой в одном
направлении по закону s=s(t).
Отметим
некоторый момент времени t
0 . К этому моменту точка
прошла путь s=s(t
0 ).
Определим
скорость v
материальной точки в момент времени t
0 . Для этого
рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t
0 +
Δt
. Ему соответствует
пройденный путь s=s(t
0 +
Δt
). Тогда за промежуток
времени Δt
точка прошла путь Δs=s(t
0 +
Δt)
–s(t).
Рассмотрим
отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt
. Средняя скорость не может
точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t
0 (т.к. движение
неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту
истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток
времени Δt
. Итак, скоростью
движения в данный момент времени t
0 (мгновенной скоростью)
называется предел средней скорости в промежутке от t
0 до t
0 +Δt
, когда Δt
→0: , т.е. скорость
неравномерного движения
это производная от пройденного пути по времени. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Введем
сначала определение касательной к кривой в данной точке. Пусть имеем
кривую и на ней фиксированную точку М 0
(см. рисунок).Рассмотрим другую точку М
этой кривой и проведем секущую M 0 M
. Если точка М
начинает перемещаться по кривой, а
точка М 0
остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном
приближении точки М
по кривой к точке
М 0
с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М 0 Т
, то прямая М 0 Т
называется касательной к
кривой в данной точке М 0
. Т.о., касательной
к кривой в данной точке М 0
называется предельное положение секущей М 0 М
,
когда точка М
стремится вдоль кривой
к точке М 0
. Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x)
и
соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х
0
функция принимает значение y 0 =f(x 0).
Этим значениям x
0 и y
0 на кривой соответствует
точка М 0 (x 0 ; y 0).
Дадим аргументу x 0
приращение Δх
.
Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y
0 +Δ y=f(x
0 –Δx)
.
Получаем точку М(x 0
+Δx
; y 0
+Δy).
Проведем секущую М 0 М
и
обозначим через φ угол, образованный секущей
с положительным направлением оси Ox
. Составим
отношение и заметим, что . Если теперь Δx
→0, то в силу непрерывности
функции Δу
→0, и поэтому точка М
, перемещаясь по кривой, неограниченно
приближается к точке М 0
.
Тогда секущая М 0 М
будет
стремиться занять положение касательной к кривой в точке М 0
, а угол φ→α при Δx
→0, где через α обозначили угол между
касательной и положительным направлением оси Ox
. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой
коэффициент касательной будет: т.е. f "(x)
= tg α . Т.о.,
геометрически у "(x 0)
представляет угловой
коэффициент касательной к графику этой функции в точке x 0
, т.е. при данном значении аргумента x
, производная равна
тангенсуугла, образованного касательной
к графику функции f(x)
в
соответствующей точке М 0
(x; y)
с
положительным направлением оси Ox.
Пример.
Найти
угловой коэффициент касательной к кривой у
= х
2 в точке М
(-1; 1). Ранее мы уже
видели, что (x
2)" = 2х
. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y
"| x=-1
= – 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
Функция y=f(x)
называется
дифференцируемой
в некоторой точке x
0 , если она имеет в этой точке определенную
производную, т.е. если предел отношения существует и конечен. Если функция
дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а
; b
] или интервала (а
; b
), то говорят, что она дифференцируема
на отрезке [а
; b
] или соответственно в
интервале (а
; b
). Справедлива следующая
теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными
функциями. Теорема.
Если функция y=f(x)
дифференцируема в некоторой точке x 0
,
то она в этой точке непрерывна. Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность. Доказательство
. Если
, то , где α
бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx
→0.
Но тогда Δy
=f
"(x 0
)
Δx
+αΔx
=> Δy
→0
при Δx
→0, т.е f(x) – f(x 0)
→0
при x
→x
0 , а это и означает, что функция f(x)
непрерывна в точке x
0 . Что и требовалось доказать. Таким образом, в точках
разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно:
существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются
дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной). Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.
В точке a
при Δx
→0 отношение не имеет предела (т.к.
односторонние пределы различны при Δx
→0–0 и Δx
→0+0).
В точке A
графика нет определенной
касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами
к
1
и к
2 . Такой тип точек
называют угловыми точками. В точке b
при Δx
→0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке
график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной
касательной. В точке c
односторонние производные являются бесконечно большими
величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка
возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.
Теорема 2
(Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m , т.е. существуют точки α , β О
[ a , b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О
[ a , b ] (рис.2).
Теорема 3
(о существовании нуля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a , b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX
(рис.3).
называемый методом бисекции (дихотомии) , или методом половинного деления.
f (x) = 0,
(1)
Теорема 4
(Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она принимает на (a , b) все промежуточные значения между f (a) и f (b).
Cуществование непрерывной обратной функции
Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a , b ]. Тогда на отрезке [ α , β ] (α = f (a), β = f (b)) cуществует обратная функция x = g (y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α , β).
Δy = f(x) – f(x
0 ) =
f(x
0 +Δx) - f(x
0 )
.
(1)