Как известно из курса теоретической механики, усло­вие равновесия объекта может иметь силовую или энерге­тическую формулировку. Первый вариант представляет со­бой условие равенства нулю главного вектора и главного момента всех сил и реакций, действующих на тело. Вто­рой подход (вариационный), называемый принципом воз­можных перемещений, оказался весьма полезен для реше­ния ряда задач строительной механики.

Для системы абсолютно жесткихтел принцип возможных перемещений формулируется так: если система абсолютно жестких тел находится в равнове­сии, то сумма работ всех внешних сил на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю. Возмож­ным (или виртуальным) называют перемещение, которое не нарушает кинематические связи и сплошность тел. Для системы на рис. 3.1 возможным является только поворот стержня относительно опоры. При повороте на произволь­ный малый угол силы и совершают работу Согласно принципу возможных переме­щений, если система находит­ся в равновесии, то должно быть . Подставляя сюда геометрические соотношения получим условие равнове­сия в силовой формулировке

Принцип возможных перемещений для упругихтел формулируется следующим образом: если система упру­гих тел находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю. В основе этого прин­ципа лежит понятие о полной энергии упругой деформи­рованной системы П. Если нагружение конструкции про­исходит статически, то эта энергия равна работе, совер­шаемой внешними Uи внутренними Wсилами при переводе системы из деформированного состояния в исходное:

При указанном переводе внешние силы не меняют свое­го значения и совершают отрицательную работу U= -F . Внутренние силы при этом уменьшаются до нуля и совершают положительную работу, так как это силы сцепления частиц материала и направлены в сторону, противополож­ную внешней нагрузки:

где - удельная потенциальная энергия упругой деформации; V - объем тела. Для линейной системы , где . Согласно теореме Лагранжа-Дирихле состоянию устойчивого равновесия соответствует мини­мум полной потенциальной энергии упругой системы, т. е.

Последнее равенство полностью соответствует формули­ровке принципа возможных перемещений. Приращения энергий dUи dWмогут быть вычислены на любых возможных перемещениях (отклонениях) упругой системы от со­стояния равновесия. Для расчета конструкций, удовлетво­ряющих требованиям линейности, бесконечно малое возможное перемещение d можно заменить весьма малым конеч­ным перемещением , в качестве которого может быть выбрано любое деформированное состояние конструкции, созданное произвольно выбранной системой сил. С учетом этого полученное условие равновесия следует записать как

Работа внешних сил

Рассмотрим методику вычисления работы внешних сил на действительном и возможном перемещении. Стержне­вая система загружена силами и (рис. 3.2, а), которые действуют одновременно, и в любой момент времени отношение остается постоянным. Если считать обобщенной силой, то по значению в любой момент времени можно вычислить все остальные нагрузки (в данном случае ). Штриховой линией показано действительное упругое перемещение, возникающее от этих сил. Обозначим это состояние индексом 1. Перемещение точек приложения сил и в направлении этих сил в состоянии 1 обозначим и .

В процессе нагружения линейной системы силами и растут силы и пропорционально им растут перемещения и (рис. 3.2, в). Действительная работа сил и на создаваемых ими перемещениях равна сумме площадей графиков , т. е. . Записав это выражение как , получим произведение обобщенной силы на обобщенное пе­ремещение . В этой форме можно представит

работу сил при любом нагружении, если все нагрузки изменяются синхронно, т. е. отношение их значений остается постоянным.

Далее рассмотрим работу внешних сил на возможном перемещении. В качестве возможного перемещения при­мем, например, деформированное состояние системы, воз­никающее в результате приложения в некоторой точке силы (рис. 3.2, б). Это состояние, соответству­ющее дополнительному перемещению точек приложения сил и на расстояние и , обозначим 2. Силы и , не меняя своего значения, совершают виртуальную работу на перемещениях и (Рис. 3.2, в):

Как видно, в обозначении перемещения первый индекс показывает состояние, в котором заданы точки и направле­ния этих перемещений. Второй индекс показывает состоя­ние, в котором действуют силы, вызывающие это переме­щение.

Работа единичной силы F 2 на действительном перемещении

Если же рассматривать состояние 1 в качестве возмож­ного перемещения для силы F 2 ,то ее виртуальная работа на перемещении

Работа внутренних сил

Найдем работу внутренних сил состояния 1, т. е. от сил и , на виртуальных перемещениях состояния 2, т. е. возникших в результате приложения нагрузки F 2 . Для этого выделим элемент стержня длиной dx(рис. 3.2 и 3.3, а). Поскольку рассматриваемая система плоская, то в сечениях элемента действуют только две силы Sи Q z и изгибающий момент Му Эти усилия для вырезанного элемента являются внешними. Внутренние усилия - это усилия сцепления, обеспечивающие прочность материала. Они равны внешним по значению, но направлены в сторону, противоположную деформации, поэтому их работа при нагружении отрицательна (рис. 3.3, б-г, показаны серым цветом). Последовательно вычислим работу, совершаемую каждым силовым фактором.

Работа продольных сил на перемещении , которое создают силы S 2 , возникшие в результате приложения нагрузки F 2 (рис. 3.2, б, 3.3, б),

Удлинение стержня длиной dxнайдем по известной формуле

где A - площадь сечения стержня. Подставив это выра­жение в предыдущую формулу, находим

Аналогичным образом определим работу, которую со­вершает изгибающий момент на угловом перемещении ,создаваемом моментом (рис. 3.3, в):

Угол поворота найдем как

где J- момент инерции сечения стержня относительно оси у. После подстановки получим

Найдем работу поперечной силы на перемещении (рис. 3.3, г). Касательные напряжения и сдвиги от перерезывающей силы Q z распределены по сечению стержня не линейно (в отличие от нормальных напряжений и удлинений в предыдущих случаях нагружения). Поэтому для определения работы сдвига приходится рассматривать работу, совершаемую касательными напряжениями в сло­ях стержня.

Касательные напряжения от силы Q z , которые действу­ют в слое, лежащем на расстоянии zот нейтральной оси (рис. 3.3, д), вычисляются по формуле Журавского

где Су - статический момент части площади сечения, лежащей выше этого слоя, взятый относительно оси у; b- ширина сечения на уровне рассматриваемого слоя. Эти напряже­ния создают сдвиг слоя на угол, который согласно закону Гука определяется как - модуль сдвига. В результате этого торец слоя смещается на

Суммарная работа касательных напряжений первого со­стояния , действующих на торце этого слоя, на пере­мещениях второго состояния вычисляется путем интегрирования произведения поплощади сечения

После подстановки сюда выражений для и получим

Вынесем из под интеграла величины, не зависящие от z, умножим и разделим это выражение наА, получим

Здесь введен безразмерный коэффициент ,

зависящий только от конфигурации и соотношения разме­ров сечений. Для прямоугольника = 1,2, для двутавро­вых и коробчатых сечений (А с - площадь сече­ния стенки или в коробчатом сечении - двух стенок).

Поскольку работа каждого из рассмотренных компонен­тов нагружения (S, Q, М) на перемещениях, вызываемых другими компонентами, равна нулю, то суммарная работа всех внутренних сил для рассмотренного элемента стержня длиной dx

(3.3)

Суммарная работа внутренних сил состояния 1 на пере­мещениях состояния 2 для плоской стержневой системы получается путем интегрирования полученного выражения по участкам длиной 1 Ц, в пределах которых эпюры явля­ются интегрируемыми функциями, и суммирования по всем участкам:

В сечении элемента пространственной стержневой сис­темы действуют шесть внутренних усилий (S, Q, Q z , М х, Му, М 2), поэтому для нее выражение суммарной работы внутренних сил будет иметь вид,

Здесь M x - крутящий момент в стержне; J T - момент инерции стержня при свободном кручении (геометрическая жесткость на кручение). В подынтегральном выражении опущены индексы «и».

В формулах (3.3) и (3.4) S v Q yV Q zl , М х1 , М у1 , М г1 обозначают аналитические выражения эпюр внутренних усилий от действия сил F{и F{,aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , М х2 , М у2 , М г2 - описания эпюр внутренних усилий от силы F 2 .

Теоремы об упругих системах

Структура формул (3.3) и (3.4) показывает, что они «сим­метричны» относительно состояний 1 и 2, т. е. работа внут­ренних сил состояния 1 на перемещениях состояния 2 равна работе внутренних сил состояния 2 на перемещениях со­стояния 1 Но согласно (3.2)

Следовательно, если равны работы внутрен­них сил, то равны и работы внешних сил -Это утверждение носит название теоремы о взаимности ра­бот (теорема Бетти, 1872 г.).

Для стержневой системы, загруженной силой F 1 (рис. 3.4, а), возьмем в качестве возможного перемещения деформированное состояние, возникшее при загружении ее силой F 2 (рис. 3.4, б). Для этой системы согласно теоре­ме Бетти 1- Если же положить , то получим

(3.5)

Эта формула выражает теорему Максвелла (1864 г.) о взаимности перемещений: перемещение точки приложе­ния первой единичной силы по ее направлению, вызван­ное действием второй единичной силы, равно перемеще­нию точки приложения второй единичной силы по своему направлению, вызванному действием первой единичной силы. Эту теорему можно применить и к системе на рис. 3.2. Если задать = 1 Н (п. 3.1.2), то получим ра­венство обобщенных перемещений .

Рассмотрим статически неопределимую систему с опо­рами, которым можно задавать требуемое перемещение, принимаемое как возможное (рис. 3.4, в, г). В первом со­стоянии сместим опору 1 на а во втором - зададим поворот заделки на угол - При этом возникнут реакции в первом состоянии и , а во втором - i . Согласно теореме о взаимности работ, запишем Если задать (здесь размерность = м, а величина - безразмерная), то получим

Это равенство численное, так как размерность реакции = Н, a = Н-м. Таким образом, реакция R 12 в неподвижной связи 1, возникающая при перемещении связи 2 на единицу, численно равна реакции , возника­ющей в связи 2 при единичном смещении связи 1. Это утверждение называется теоремой о взаимности реакций.

Теоремы, изложенные в данном разделе, используются для аналитического расчета статически неопределимых си­стем.

Определение перемещений

Общая формула перемещений

Для вычисления перемещений, возникающих в стерж­невой системе под действием заданной нагрузки (состоя­ние 1), следует сформировать вспомогательное состояние системы, в котором действует одно единичное усилие, совершающее работу на искомом перемещении (состояние 2). Это значит, что при определении линейного перемещения необходимо задать единичную силу F 2 = 1 Н, приложен­ную в той же точке и в том же направлении, в котором надо определить перемещение. Если требуется определить угол поворота какого-либо сечения, то в этом сечении прикладывается единичный момент F 2 = 1 Н м. После этого составляется уравнение энергий (3.2), в котором состояние 2 принимается за основное, а деформированное

состояние 1 рассматривается как виртуальное перемещение. Из этого уравнения и вычисляется искомое перемещение.

Найдем горизонтальное перемещение точкиВ для си­стемы на рис. 3.5, а. Для того чтобы в уравнение работ (3.2) попало искомое перемещение Д 21 , возьмем в качестве основного состояния перемещение системы под действием единичной силы F 2 - 1 Н (состояние 2, рис. 3.5, б). Возможным перемещением будем считать действительное де­формированное состояние конструкции (рис. 3.5, а).

Работу внешних сил состояния 2 на перемещениях со­стояния 1 найдем как Согласно (3.2),

следовательно, искомое перемещение

Поскольку (п. 3.1.4), работа внутренних сил состояния 2 на перемещениях состояния 1 вычисляется по формуле (3.3) или (3.4). Подставив в (3.7) выражение (3.3) дляработы внутренних сил плоской стержневой системы, найдем

Для дальнейшего использования этого выражения целесо­образно ввести понятие единичных эпюр внутренних сило­вых факторов, т.е. из которых первые две безразмерные, а размерность . В результате получится

В эти интегралы следует подставить выражения для эпюр распределениясоответствующих внутренних усилий от действующей нагрузки и и от силы F 2 = 1. Полу­ченное выражение называют формулой Мора (1881 г.).

При расчете пространственных стержневых систем для вычисления суммарной работы внутренних сил следует использовать формулу (3.4), тогда получится

Вполне очевидно, что в интегралы подставляются выра­жения для эпюр внутренних усилий S, Q y , Q z , М х, М у, М г и значения геометрических характеристик сечений A, J т, Jу,J, для соответствующего n-го участка. Для сокращения записи в обозначениях этих величин индекс «и» опущен.

3.2.2. Частные случаи определения перемещений

Формула (3.8) используется в общем случае плоской стержневой системы, однако в ряде случаев ее можно существенно упростить. Рассмотрим частные случаи ее реализации.

1. Если деформациями от продольных сил можно пренебречь, что характерно для балочных систем, то формула(3.8) будет записана как

2. Если плоская система состоит только из изгибаемых тонкостенных балок с отношением l/h> 5 для консолей или l/h> 10 для пролетов (I и h- длина балки и высота сече­ния), то, как правило, энергия деформаций изгиба суще­ственно превышает энергию деформаций от продольных и поперечных сил, поэтому их можно не учитывать в расче­те перемещений. Тогда формула (3.8) примет вид

3. Для ферм, стержни которых при узловом нагруже­нии испытывают в основном продольные усилия, можно считать М = 0 и Q= 0. Тогда перемещение узла вычисля­ется по формуле

Интегрирование производится по длине каждого стерж­ня, а суммирование - по всем стержням. Имея в виду, что усилие S u в и-м стержне и площадь сечения не изменяются по его длине, можем упростить данное выражение:

При всей видимой простоте этой формулы аналитиче­ский расчет перемещений в фермах весьма трудоемок, так как требует определения усилий во всех стержнях фермы от действующей нагрузки () и от единичной силы (), приложенной в точке, перемещение которой необходимо найти.

3.2.3. Методика и примеры определения перемещений

Рассмотрим вычисление интеграла Мора методом А. Н. Верещагина (1925 г.). Интеграл Мора имеет вид (3.8), где в качестве D 1 , D 2 могут фигурировать эпюры изгибающих моментов, продольных или поперечных сил. Как минимум одна из эпюр () в подынтегральном выражении линей­ная или кусочно-линейная, так как построена от единичной нагрузки. Поэтому для

решения интеграла можно применить следующий прием. Поло­жим, что на рассматриваемом участ­ке длиной I первая эпюра D 1 произ­вольной формы, а вторая - линейная: (рис. 3.6). Подставив это в интеграл Мора, найдем

Первый изинтегралов численно равен площади подграфиком (на рис. 3.6 заштрихована), а второй - статическому моменту этой площади относительно оси . Статический момент может быть записан как , где - координата положения центра тяжести площади (точка А). С учетом сказанного получим

(3.13)

Правило Верещагина формулируется следующим образом: если на участке хотя бы одна из эпюр линейна, то интеграл Мора вычисляется как произведение площади произволь

ной эпюры на ординату линейной эпюры, распо­ложенную под центром тяжести этой площади. Если обе эпюры расположены с одной стороны оси, то произведе­ние положительно, если с разных сторон, то - отрица­тельно. Этот метод может быть применен для вычисления любого из интегралов, входящих в выражения (3.8) и (3.9).

При расчете конструкций в среде Mathcadнет необхо­димости пользоваться правилом Верещагина, так как мож­но вычислять интеграл путем численного интегрирования.

Пример 3.1 (рис. 3.7, а). Балка загружена двумя сим­метрично расположенными силами . Найти перемеще­ния точек приложения сил .

1. Построим эпюру изгиба­ющих моментов М 1 от сил F 1 . Опорные реакции Максимальный изгибающий момент под силой

2. Поскольку система симметрична, то прогибы под силами будут одинаковы. В качестве вспомогательного состо­яния возьмем загружение бал­ки двумя единичными силами F 2 = 1 Н, приложенными в тех же точках, что и силы F 1

(рис. 3.7, б). Эпюра изгибающих моментов для данного нагружения аналогична предыдущей, и максимальный изгибающий момент М 2тах =0,5(L-b).

3. Нагружение системы двумя силами второго состоя­ния характеризуется обобщенной силой F 2 и обобщенным перемещением , которые создают работу внешних сил на перемещении состояния 1, равную . Вычислим перемещение по формуле (3.11). Перемножая эпю­ры по участкам по правилу Верещагина, найдем

После подстановки значений получим

Пример 3.2. Найти горизонтальное перемещение подвижной опоры П-образной рамы, загруженной силой F x (рис. 3.8, а).

1. Построим эпюру изгибающих моментов от силы F 1 Опорные реакции . Максималь­ный изгибающий момент под силой F 1

2. В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки единичной горизонтальной силой F 2 , при­ложенной в точкеВ (рис. 3.8, б). Строим эпюру изгиба­ющих моментов для этого случая нагружения. Опорные реакции А 2у = В 2у = 0, А 2х = 1. Максимальный изгибающий момент .

3. Вычисляем перемещение по формуле (3.11). На вер­тикальных участках произведение равно нулю. На гори­зонтальном участке эпюра М 1 не линейна, а эпюра линейна. Перемножая эпюры методом Верещагина, полу­чим

Произведение отрицательно, так как эпюры лежат по разные стороны. Полученное отрицательное значение перемещения свидетельствует о том, что фактическое его на­правление противоположно направлению единичной силы.

Пример 3.3 (рис. 3.9). Найти угол поворота сечения двухопорной балки под силой и найти положение силы, при котором этот угол будет максимальным.

1. Построим эпюру изгибающих моментов М 1 от силы F 1 .Для этого найдем опорную реакцию А 1 . Из уравнения равновесия для системы в целом найдем .Максимальный изгибающий момент под силой Fj

2. В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки единичным моментом F 2 = 1 Н-м в том сечении, поворот которого надо определить (рис. 3.9, б). Строим эпюру изгибающих моментов для этого случая нагружения. Опорные реакции А 2 = -В 2 = 1/L,изгибающие моменты

Оба момента отрицательные, так как направлены по часовой стрелке. Эпюры строятся на растянутом волокне.

3. Вычисляем угол поворота по формуле (3.11), выполняя перемножение по двум участкам,

Обозначив , можно получить это выражение в более удобной форме:

График зависимости угла поворота от положения силы F 1 показан на рис. 3.9, в. Продифференцировав это выражение, из условия найдем положение силы, при котором угол наклона балки под ней будет наи­большим по абсолютному значению. Это произойдет при значениях равных 0,21 и 0,79.

Рисунок 2.4

Решение

Заменим распределенную нагрузку сосредоточенной силой Q = q∙DH . Эта сила приложена в середине отрезка DH – в точке L .

Силу F разложим на составляющие, спроецировав ее на оси : горизонтальную F x cosα и вертикальную F y sinα .

Рисунок 2.5

Чтобы решить задачу с помощью принципа возможных перемещений, необходимо, чтобы конструкция могла перемещаться и при этом чтобы в уравнении работ была одна неизвестная реакция . В опоре A реакция раскладывается на составляющие X A , Y A .

Для определения X A изменим конструкцию опоры A так, чтобы точка A могла перемещаться только по горизонтали. Выразим перемещения точек конструкции через возможный поворот части CDB вокруг точки B на угол δφ 1 , часть AKC конструкции в этом случае поворачивается вокруг точки C V1 — мгновенного центра вращения (рисунок 2.5) на угол δφ 2 , и перемещения точек L и C – будут

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1 .

В то же время

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1 .

Уравнение работ удобнее составить через работу моментов заданных сил , относительно центров вращений.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0 .

Реакция Y A работу не совершает. Преобразуя это выражение, получим

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0 .

Сократив на δφ 1 , получим уравнение, из которого легко находится X A .

Для определения Y A конструкцию опоры A изменим так, чтобы при перемещении точки A работу совершала только сила Y A (рисунок 2.6). Примем за возможное перемещение части конструкции BDC поворот вокруг неподвижной точки B — δφ 3 .

Рисунок 2.6

Для точки C δS C = BC∙δφ 3 , мгновенным центром вращения для части конструкции AKC будет точка C V2 , и перемещение точки C выразится.

Элементы аналитической механики

В своих попытках познать окружающий мир человеческой природе свойственно стремление свести систему знаний в данной области к наименьшему числу исходных положений. Это прежде всего относится к научным областям. В механике такое стремление привело к созданию фундаментальных принципов, из которых вытекают основные дифференциальные уравнения движения для различных механических систем. Настоящий раздел учебника призван познакомить читателя с частью этих принципов.

Начнем изучение элементов аналитической механики с рассмотрения вопроса о классификации связях, встречающихся не только в статике, но и в динамике.

Классификация связей

Связь – любого вида ограничения, накладываемые на положения и скорости точек механической системы .

Связи классифицируют:

· По изменению во времени:

- нестационарныесвязи , т.е. меняющиеся со временем . Движущаяся в пространстве опора – пример нестационарной связи.

- стационарныесвязи , т.е. не меняющиеся со временем. К стационарным связям относятся все связи, рассмотренные в разделе «Статика».

· По типу накладываемых кинематических ограничений:

- геометрическиесвязи накладывают ограничения на положения точек системы ;

- кинематические , или дифференциальныесвязи накладывают ограничения на скорости точек системы . По возможности сведения одного типа связи к другой:

- интегрируемая , или голономная (простая) связь , если кинематическую (дифференциальную) связь можно представить как геометрическую . В таких связях зависимости между скоростями удается свести к зависимости между координатами. Катящейся без проскальзывания цилиндр – пример интегрируемой дифференциальной связи: скорость оси цилиндра связана с его угловой скоростью по известной формуле , или , а после интегрирования приводится к геометрической связи между смещением оси и углом поворота цилиндра в виде .

- неинтегрируемая , или неголономнаясвязь – если кинематическую (дифференциальную) связь нельзя представить как геометрическую . Пример – качение шара без проскальзывания при его непрямолинейном движении.

· По возможности «освобождения» от связи:

- удерживающиесвязи , при которых налагаемые ими ограничения сохраняются всегда, например, маятник, подвешенный на жестком стержне;

- неудерживающие связи - ограничения могут нарушаться при определенном типе движения системы , например, маятник, подвешенный на сминаемой нити.

Введем несколько определений.

· Возможное (или виртуальное ) перемещение (обозначается ) является элементарным (бесконечно малым) и таково, что не нарушает наложенные на систему связи .

Пример: точка, находясь на поверхности, в качестве возможных имеет множество элементарных перемещений в любом направлении вдоль опорной поверхности, не отрываясь от нее. Движение точки, приводящее к ее отрыву от поверхности, нарушает связь и, в соответствии с определением, не является возможным перемещением.

Для стационарных систем обычное действительное (реальное) элементарное перемещение входит во множество возможных перемещений.

· Число степеней свободы механической системы – это число независимых между собой ее возможных перемещений .

Так, при перемещение точки на плоскости любое ее возможное перемещение выражается через две свои ортогональные (а значит и независимые) составляющие.

У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы .

Таким образом, точка на плоскости имеет две степени свободы. Свободная материальная точка – три степени свободы. У свободного тела – шесть (добавляются повороты по углам Эйлера) и т.д.

· Возможная работа – это элементарная работа силы на возможном перемещении .

Принцип возможных перемещений

Если система находится в равновесии, то для любой ее точки выполняется равенство , где - равнодействующие действующих на точку активных сил и сил реакций. Тогда и сумма работ этих сил при любом перемещении также равна нулю . Просуммировав для всех точек, получим: . Второе слагаемое для идеальных связей равно нулю, откуда формулируется принцип возможных перемещений :

.

(3.82)

В условиях равновесия механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы равна нулю .

Ценность принципа возможных перемещений заключается в формулировке условий равновесия механической системы (3.81), в которых не фигурируют неизвестные реакции связей.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Какое перемещение точки называется возможным?

2. Что называется возможной работой силы?

3. Сформулируйте и запишите принцип возможных перемещений.

Принцип Даламбера

Перепишем уравнение динамики к -й точки механической системы (3.27), перенеся левую часть в правую. Введем в рассмотрение величину

Силы в уравнении (3.83) образуют уравновешенную систему сил.

Распространяя этот вывод ко всем точкам механической системы, придем к формулировке принципаДаламбера , названного в честь французского математика и механика Жана Лерона Даламбера (1717–1783 г.г.), рис.3.13:

Рис.3.13

Если ко всем силам, действующим в данной механической системе, добавить все силы инерции, полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики .

Фактически это означает, что от динамической системы путем добавления сил инерции (сил Даламбера) переходят к псевдостатической (почти статической) системе.

Используя принцип Даламбера, можно получить оценку главного вектора сил инерции и главного момента сил инерции относительно центра в виде:

Динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью ω вокруг оси, закрепленной в подшипниках АиВ(рис. 3.14). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси Ахуz;преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координаты центра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными. Пусть на тело действуют заданные силы . Обозначим проекции главного вектора всех этих сил на оси Ахуz через ( и т.д.), а их главные моменты относительно тех же осей - через ( и т.д.); при этом, так как ω =const, то = 0.

Рис.3.14

Для определения динамических реакций Х А, У А, Z А , Х B , Y B подшипников, т.е. реакций, возникающих при вращении тела, при­соединим ко всем действующим на тело заданным силам и реакциям связей силы инерции всех частиц тела, приведя их к центру А. Тогда силы инерции будут представлены одной силой, равной и приложенной в точке А, и парой сил с моментом, рав­ным . Проекции этого момента на оси к и у будут: , ; здесь опять , так как ω =const.

Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (3.86) в проекциях на оси Ахуz и полагая АВ=b, получим

.

(3.87)

Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, так как .

Главный вектор сил инерции , где т - масса тела (3.85). При ω =const центр масс С имеет только нормальное ускорение , где - расстоя­ние точки С от оси вращения. Следовательно, направление вектора совпадаете с на­правлением ОС. Вычисляя проекции на координатные оси и учитывая, что ,где - координаты центра масс, найдем:

Чтобы определить и , рассмотрим какую-нибудь частицу тела с массой m k , отстоящую от оси на расстоянии h k . Для нее при ω =const сила инерции тоже имеет только центробежную составляющую , проекции которой, как и вектора R", равны.

Принцип возможных перемещений позволяет решать самые разнообразные задачи на равновесие механических систем - находить неизвестные активные силы, определять реакции связей, находить положения равновесия механической системы под действием приложенной системы сил. Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

Пример 1. Найти величину силы Р, удерживающей тяжелые гладкие призмы с массами в состоянии равновесия. Угол скоса призм равен (рис. 73).

Решение. Воспользуемся принципом возможных перемещений. Сообщим системе возможное перемещение и вычислим возможную работу активных сил:

Возможная работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна вектору элементарного перемещения точки приложения силы. Подставляя сюда значение и приравнивая выражение нулю, получаем:

Так как , то равно нулю выражение в скобках:

Отсюда находим

Пример 2. Однородная балка АВ длиной и весом Р, нагруженная парой сил с заданным моментом М, закреплена как показано на рис. 74 и находится в покое. Определить реакцию стержня BD, если он составляет угол а с горизонтом.

Решение. Задача отличается от предыдущей тем, что здесь требуется найти реакцию идеальной связи. Но в уравнение работ выражающее принцип возможных перемещений, реакции идеальных связей не входят. В таких случаях принцип возможных перемещений следует применять совместно с принципом освобождаемости от связей.

Мысленно отбросим стержень BD, а его реакцию S будем считать неизвестной по величине активной силой. После этого сообщим системе возможное перемещение (при условии, что данная связь совершенно отсутствует). Это будет элементарный поворот балки АВ на угол вокруг оси шарнира А в ту или другую сторону (на рис. 74 - против часовой стрелки). Элементарные перемещения точек приложения активных сил и отнесенной к ним реакции S при этом равны:

Составляем уравнение работ

Приравнивая нулю выражение в скобках, отсюда находим

Пример 3. Однородный стержень ОА весом закреплен при помощи цилиндрического шарнира О и пружины АВ (рис. 75). Определить положения, в которых стержень может находиться в равновесии, если жесткость пружины равна к, натуральная длина пружины - и точка В находится на одной вертикали с точкой О.

Решение. К стержню ОА приложены две активные силы - собственный вес и упругая сила пружины где - угол, образуемый стержнем с вертикалью ОВ. Наложенные связи - идеальные (в данном случае имеется единственная связь - шарнир О).

Сообщим системе возможное перемещение - элементарный поворот стержня вокруг оси шарнира О на угол , вычислим возможную работу активных сил и приравняем ее нулю:

Подставляя сюда выражение для силы F и значения

после простых преобразований получаем следующее тригонометрическое уравнение для определения угла (р при равновесии стержня:

Уравнение определяет три значения для угла :

Следовательно, стержень имеет три положения равновесия. Так как два первых положения равновесия существуют, если выполняется условие . Равновесие при существует всегда.

В заключение заметим, что принцип возможных перемещений можно применять и к системам с неидеальными связями. Акцент на идеальность связей делается в формулировке принципа с одной единственной целью - показать, что уравнения равновесия механических систем можно составлять, не включая в них реакции идеальных связей, упрощая этим расчеты.

Для систем с неидеальными связями принцип возможных перемещений следует переформулировать так: для равновесия механической системы с удерживающими связями, среди которых имеются неидеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы возможная работа активных сил и реакций неидеальных связей была равна нулю. Можно, однако, обойтись без переформулировки принципа, условно относя реакции неидеальных связей в число активных сил.

Вопросы для самопроверки

1. В чем основная особенность несвободной механической системы по сравнению со свободной?

2. Что называется возможным перемещением? Приведите примеры.

3. Как определяются вариации координат точек системы при ее возможном перемещении (укажите три способа)?

4. Как классифицируются связи по виду их уравнений? Приведите примеры связей удерживающих и не удерживающих, стационарных и нестационарных.

5. В каком случае связь называется идеальной? Неидеальной?

6. Приведите словесную формулировку и математическую запись принципа возможных перемещений.

7. Как формулируется принцип возможных перемещений для систем, содержащих неидеальные связи?

8. Перечислите основные типы задач, решаемые при помощи принципа возможных перемещений.

Упражнения

При помощи принципа возможных перемещений решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 46.1; 46.8; 46.17; 2.49; 4.53.

Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики .

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:

Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная

Общее уравнение динамики - при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.

Последовательность составления:

а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;

б) сообщают системе возможные перемещения;

в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций , ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

Возможная работа силы: .

Возможная работа момента (пары сил): .

Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q 1 , q 2 , …, q S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

Число обобщенных координат равно S - числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

……..………. ;

………..……. ;

здесь - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :

а - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

где - перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k -той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек - функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек - функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

В числителе правой части формулы - сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты - . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.