Дифференциальные уравнения можно линеаризовать следующими методами:

1. нелинейная функция рабочей области раскладывается в ряд Тейлора.

2. Заданные в виде графов нелинейные функции линеаризуются в рабочей плоскости прямыми.

3. Вместо непосредственного определения частных производных, вводятся переменные в исходные нелинейные уравнения.

,

. (33)

4. Данный метод основан на определении коэффициентов по методу наименьших квадратов.

, (34)

где - постоянное времени пневмопривода;

- передаточный коэффициент пневмопривода;

- коэффициент демпфирования пневмопривода.

Внутреннее строение элементов САР наиболее просто определяется с помощью структурных схем графов. В отличие от известных структурных схем в графах, переменные указываются в виде времени, а дуги обозначают или параметры, или передаточные функции типовых звеньев. Между ними существует четное соотношение.

Мм нелинейных элементов

Рассмотренные в первой главе методы линеаризации применимы, когда нелинейность, входящая в объект ЛСА, хотя бы один раз дифференцируема или аппроксимируется касательной с малой погрешностью некоторой окрестности близкой к рабочей точке. Существует целый класс нелинейностей, для которых оба условия не выполняются. Обычно это существенные нелинейности. К ним относятся: ступенчатые, кусочно-линейные и многозначные функции с точками разрыва первого рода, а также степенные и транстендентые функции. Использование УВМ, обеспечивающих выполнение логико-алгебраических операций в системах привело к новым типам линейностей, которые представляют через непрерывные переменные с помощью специальной логики.

Для математического описания таких нелинейностей применяют эквивалентные передаточные функции, зависящие от коэффициентов линеаризации, которые получают путем минимизации среднего квадрата ошибки воспроизведения заданного входного сигнала. Форма входных сигналов, поступающих на вход нелинейностей может быть произвольна. На практике наиболее распространение получили гармонические и случайные виды входных сигналов и их временные комбинации. Соответственно и методы линеаризации называются гармоническими и статическими.

Общий метод описания эквивалентных передаточных функций нэ

Весь класс существенных нелинейностей разделены на две группы. К первой группе относится однозначные нелинейности, у которых связь между входными и выходнымивекторными сигналами зависит только от формы статической характеристики нелинейности
.

.

В этом случае, при определенной форме входных сигналов:

.

С помощью матрицы линеаризации
можно найти приближенное значение выходных сигналов:

.

Из (42) следует, что матрица коэффициентов линеаризации однозначных нелинейностей, является действительными величинами и их эквивалентные передаточные функции:

.

Ко второй группе относят двузначные (многозначные) нелинейности, у которых связь между входными и выходными сигналами зависит не только от формы статической характеристики, но так же определяется предысторией входного сигнала. В этом случае выражение (42) запишется в виде:

.

Для учета влияния предыстории входного периодического сигнала будем учитывать не только сам сигнал , но и скорость его изменения, дифференциал.

При входных сигналах:

приближенное значение входного сигнала будет:

где
и
- коэффициенты гармонической линеаризации двухзначных нелинейностей;

- период колебания по правой гармонике;

- гармоническая функция.

Эквивалентная передаточная функция:

Существуют нелинейности более общего вида:

,

,

где
и
- коэффициенты гармонической линеаризации;

- номер гармоники.

Матрицы коэффициентов линеаризации периодической с периодом . Имея это ввиду, передаточную функцию двух двухзначной нелинейности можно представить по аналогии с передаточной функцией

Пользуясь определим обобщенную формулу для вычисления передаточной функции однозначных и двухзначных нелинейностей.

В случае однозначной нелинейности матрица коэффициентов линеаризации , зависящей от параметров вектора
, выберем, таким образом, чтобы линеаризовать среднее значение квадрата разности между точными приближенным
сигналами на входе:

После преобразований, упрощений, ухищрений и усиления бдительности, получим эквивалентную передаточную функцию в виде системы матриц:
,
.

,

при
,
.

.

Определить коэффициент линеаризации для однозначной нелинейности. Когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала:

где
.

.

Уравнение (56) представляет собой коэффициент линеаризации по первой гармонике для однозначной нелинейности, она определяет эквивалентную передаточную функцию
.

В дальнейшем сравнение формулы для определения коэффициентов линеаризации простейших нелинейностей при подаче на их вход периодических сигналов: синусоидального, треугольного, покажем целесообразность применения получаемых эквивалентных передаточных функций.

Коэффициент линеаризации определим
,
.

,

.

Пример. Определить коэффициент линеаризации двузначной нелинейности, когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала и имеет один вход. Из системы матриц (60), получим:

,

.

В данном примере входной сигнал запишем в виде:

,

.

Когда для двузначной нелинейности общая эквивалентная функция:

. .

Общий метод линеаризации

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения ᴇᴦο обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь зна­чения где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х10.

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем˸ а также .

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) должна быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

где D – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в данном уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях˸

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют из себянекоторые постоянные коэффициенты в том случае, в случае если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Общий метод линеаризации - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Общий метод линеаризации" 2015, 2017-2018.

Нв себя, L(0)=0, и дифференцируем по Фреше. Одним из классич. методов решения (1), связанным с линеаризацией (1), является итерационный метод Ньютона - Канторовича, в к-ром при известном приближении и n новое приближение и n+ 1 определяется как решение линейного уравнения

с итерационным параметром подлежащим выбору. При реализации упомянутых методов следует учитывать и приближенность решения систем (напр., как следствие применения вспомогательных итерационных методов) (см., напр., , , ). При рассмотрении нелинейных задач на собственные значения (задач нахождения точек бифуркации), напр. вида

идея линеаризации (5), сводящая исследование задачи (5) к исследованию линейной задачи на собственные значения

оказалась весьма плодотворной (см. - ). Часто используется та или иная линеаризация и в сеточных методах решения нестационарных нелинейных задач (см., напр., - ), проводимая за счет известных решений в моменты времени до t n и дающая линейные уравнения для решения в следующий дискретный (t - шаг по времени). Лит. : Красносельский М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, т. 1, М., 1969 ; К о л л а т ц Л., Функциональный анализ и , пер. с нем., М., 1969; О р т е г а Д ж., Р е й н б о л д т В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; Б е л л м а н Р., К а л а б а Р., Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи, пер. с англ., М., 1968; П о б е д р я Б. Б., в кн.: Упругость и неупругость, в. 3, М., 1973, с. 95-173; О д е н Д ж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, пер. с англ., М., 1976; Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, пер. с англ., М., 1975; С в и р с к и й И. В., Методы типа Бубнова - Галеркияа и последовательных приближений, М., 1968; М и х л и н С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; Futik S., Kratochvil A., Necas I., "Acta Univ. Corolinae. Math, et Phys.", 1974, v. 15, № 1-2, p. 31-33; Амосов А. А., Бахвалов Н. С., О с и-п и к Ю. И.; "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1980, т. 20, № 1, с. 104-11; Е i s е n s t a t S. С., S с h u l t z М. Н., S h е r m a n А. Н., "Lect. Notes Math.", 1974, № 430, p. 131 - 53; Дьяконов Е. Г., в кн.: Численные методы механики сплошной среды, т. 7, № 5, М., 1976, с. 14-78; В о р о в и ч И. И., в кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. К шестидесятилетию акад. Л. И. Седова, М., 1969; Бергер М. С., в кн.: Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения, пер. с англ., М., 1974, с. 71-128; Скрыпник И. В., Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка, К., 1973; Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изд., М., 1970; Дьяконов Е. Г., Разностные методы решения краевых задач, в. 2 - Нестациопарные задачи, М., 1972; Р и в к и н д В. Я., У р а л ь ц е в а Н. Н., в кн.: Проблемы математического анализа, в. 3, Л., 1972, с. 69-111; Fairweather G., Finite element Galerkin methods for differential equations, N. Y., 1978. ; L u s k i n M., "SIAM J. Numer. Analysis", 1979, v. 16, № 2, p. 284-99.

Е. Г. Дьяконов.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЛИНЕАРИЗАЦИИ МЕТОДЫ" в других словарях:

функциональная группа - 2.1.8. функциональная группа: Группа, состоящая из нескольких функциональных блоков, электрически взаимосвязанных между собой для выполнения заданных функций. Источник …

Численные методы решения методы, заменяющие решение краевой задачи решением дискретной задачи (см. Линейная краевая задача;численные методы решения и Нелинейное уравнение;численные методы решения). Во многих случаях, особенно при рассмотрении… … Математическая энциклопедия

Численные методы раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на… … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Наследование. Диаграмма наследования классов в виде ромба. Ромбовидное наследование (… Википедия

Прогноз - (Forecast) Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования, методы прогнозирования Содержание Содержание Определение Основные понятия прогностики Задачи и принципы прогнозирования… … Энциклопедия инвестора

Приближенные методы решения методы получения аналитич. выражений (формул), либо численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения (д. у.) или системы для одного или нескольких… … Математическая энциклопедия

Численные методы решения итерационные методы решения нелинейных уравнений. Под нелинейными уравнениями понимаются (см. ) алгебраические и трансцендентные уравнения вида где х действительное число, нелинейная функция, а под системой… … Математическая энциклопедия

Ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… … Физическая энциклопедия

- (от лат. linearis линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы… … Википедия

статическая - 3.7 статическая нагрузка: Внешнее воздействие, которое не вызывает ускорений деформируемых масс и сил инерции. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Книги

• Прогнозирование надёжности технологических процессов, инструмента и машин в обработке металлов давлением , Л. Г. Степанский. Пособие соответствует программе курса "Теория автоматического управления" . Рассмотрены математические модели и методы анализа устойчивости дискретных систем. Изложены методы гармонической и…

Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса ) позволяет определить условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных САУ. Автоколебания определяются предельными циклами в фазовом пространстве систем. Предельные циклы разделяют пространство (в общем случае - многомерное ) на области затухающих и расходящихся процессов. В результате расчета параметров автоколебаний можно сделать заключение о их допустимости для данной системы или о необходимости изменения параметров системы.

Метод позволяет:

Определить условия устойчивости нелинейной системы;

Найти частоту и амплитуду свободных колебаний системы;

Синтезировать корректирующие цепи, для обеспечения требуемых параметров автоколебаний;

Исследовать вынужденные колебания и оценивать качество переходных процессов в нелинейных САУ.

Условия применимости метода гармонической линеаризации.

1) При использовании метода предполагается, что линейная часть системы устойчива или нейтральна.

2) Сигнал на входе нелинейного звена близок по форме к гармоническому сигналу. Это положение требует пояснений.

На рис.1 представлены структурные схемы нелинейной САУ. Схема состоит из последовательно соединенных звеньев: нелинейного звена y=F(x) и линейно-

го, которое описывается дифференциальным уравнением

При y = F(g - x) = g - x получим уравнение движения линейной системы.

Рассмотрим свободное движение, т.е. при g(t) º 0. Тогда,

В случае, когда в системе существуют автоколебания, свободное движение системы является периодическим. Непериодическое движение с течением времени оканчивается остановкой системы к некотором конечном положении (обычно, на специально предусмотренном ограничителе).

При любой форме периодического сигнала на входе нелинейного элемента сигнал на его выходе будет содержать кроме основной частоты высшие гармоники. Предположение о том, что сигнал на входе нелинейной части системы можно считать гармоническим, т.е., что

x(t)@ a×sin(wt),

где w=1/T, T - период свободных колебаний системы, равносильно предположению о том, что линейная часть системы эффективно фильтрует высшие гармоники сигнала y(t) = F(x (t)).

В общем случае при действии на входе нелинейного элемента гармонического сигнала x(t) сигнал на выходе может быть преобразован по Фурье:

Коэффициенты ряда Фурье

Для упрощения выкладок положим C 0 =0, т.е., что функция F(x) симметрична относительно начала координат. Такое ограничение не обязательно и сделано анализа. Появление коэффициентов C k ¹ 0 означает, что, в общем случае нелинейное преобразование сигнала сопровождается и фазовыми сдвигами преобразуемого сигнала. В частности, это имеет место в нелинейностях с неоднозначными характеристиками (с различного рода гистерезисными петлями), причем как запаздывание так и, в некоторых случаях, опережение по фазе .

Предположение об эффективной фильтрации означает, что амплитуды высших гармоник на выходе линейной части системы малы, то есть

Выполнению этого условия способствует то, что во многих случаях амплитуды гармоник уже непосредственно на выходе нелинейности оказываются существенно меньше амплитуды первой гармоники. Например, на выходе идеального реле при гармоническом сигнале на входе

y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))

четные гармоники отсутствуют, а амплитуда третьей гармоники в три раза меньше амплитуды первой гармоники

Сделаем оценку степени подавления высших гармоник сигнала в линейной части САУ. Для этого сделаем ряд предположений.

1) Частота свободных колебаний САУ приблизительно равна частоте среза ее линейной части. Отметим, что частота свободных колебаний нелинейной САУ может существенно отличаться от частоты свободных колебаний линейной системы так, что это допущение не всегда корректно .

2) Показатель колебательности САУ примем равным M=1.1.

3) ЛАХ в окрестностях частоты среза (w с) имеет наклон -20 дБ/дек. Границы этого участка ЛАХ связаны с показателем колебательности соотношениями

4) Частота w max является сопрягающей с участком ЛФХ, так что при w > w max наклон ЛАХ не менее минус 40 дБ/дек.

5) Нелинейность - идеальное реле с характеристикой y = sign(x) так, что на ее выходе нелинейности будут присутствовать только нечетные гармоники.

Частоты третьей гармоники w 3 = 3w c , пятой w 5 = 5w с,

lgw 3 = 0.48+lgw c ,

lgw 5 = 0.7+lgw c .

Частота w max = 1.91w с, lgw max = 0.28+lgw c . Сопрягающая частота отстоит от частоты среза на 0.28 декады.

Уменьшение амплитуд высших гармоник сигнала при их прохождении через линейную часть системы составит для третьей гармоники

L 3 = -0.28×20-(0.48-0.28)×40 = -13.6 дБ, то есть в 4.8 раза,

для пятой - L 5 = -0.28×20-(0.7-0.28)×40 = -22.4 дБ, то есть в 13 раз.

Следовательно, сигнал на выходе линейной части окажется близким к гармоническому

Это эквивалентно предположению, что система является низкочастотным фильтром.

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов . В нелинейной системе (рис. 2.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой w.

В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 2.10), описываемых уравнением

y н = F(x), (2.17)

лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой w и амплитудой a , т.е.

x = a sin y, где y = wt, (2.18)

а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

y н 1 = a н 1 sin(y + y н 1), (2.19)

где a н 1 - амплитуда а y н 1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.

Рис. 2.10. Характеристики нелинейного элемента

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (2.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (2.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

y н 1 = b 1F siny + a 1F cosy, (2.20)

где b 1F , a 1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:

px = a w cos y, где p = d/dt,

то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

y н 1 = x, (2.21)

где q = b 1F /a , q¢ = a 1F /a .

Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации , а коэффициенты q и q¢ - коэффициентами гармонической линеаризации .

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (2.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q¢ изменяются при изменении амплитуды a и частоты w колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу . В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a , w) и q¢(a , w) зависят от амплитуды a и частоты w колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a ) и q¢(a ) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q¢(a ) = 0.

Подвергнув уравнение (2.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на jw (s = jw), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W Э (jw, a ) = q + jq¢ = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) , (2.22)

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

A Э (w, a ) = mod W Э (jw, a ) =

y Э (w, a ) = arg W Э (jw, A) = arctg.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (2.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (2.18) на его входе, т.е.

a н 1 = a ´A Э (w, a ); y н 1 = y Э (w, a ).

Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 .

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 2.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи

W Э (jw, a ) = q(w, a ) + jq¢(w, a ) = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) . (2.24)

Принимая во внимание выражение (2.21), можно записать уравнение нелинейной системы

{A(p) + B(p)´}x = 0. (2.25)

Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания

x = a 0 sin w 0 t

с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a 0 и w = w 0 характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

A(p) + B(p)´ = 0 (2.26)

имеет пару мнимых корней l i = jw 0 и l i +1 = -jw 0 . Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.

Аналитический метод . Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют jw

D(jw, a ) = A(jw) + B(jw)´. (2.27)

В результате получают уравнение D(jw, a ) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

Re D(jw, a ) = X(w, a );

Im D(jw, a ) = Y(w, a ),

получим уравнение

X(w, a ) + jY(w, a ) = 0. (2.28)

Если при действительных значениях a 0 и w 0 выражение (2.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:

Из выражений (2.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (2.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

По графикам a 0 = f(k), w 0 = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Частотный метод . В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

W н (jw, a ) = -1. (2.31)

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

W н (jw, a ) = W лч (jw)´W Э (jw, a ). (2.32)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (2.31) принимает вид

W лч (jw) = - . (2.33)

Решение уравнения (2.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы W лч (jw) и годографа обратной характеристики нелинейной части , взятой с обратным знаком (рис. 2.11). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 2.11. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой w 0 и амплитудой a 0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части - , соответствующая увеличенной амплитуде a 0 +Da по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a 0 -Da .

На рис. 2.11 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a 3 < a 0 < a 4 .

Исследование по логарифмическим частотным характеристикам .

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (2.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod W лч (jw)W э (jw, a ) = 1;

arg W лч (jw)W э (jw, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

L лч (w) + L э (w, a ) = 0; (2.34)

y лч (w) + y э (w, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.35)

Условия (2.34) и (2.35) позволяют определить амплитуду a 0 и частоту w 0 периодического решения уравнения (2.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы L лч (w), y лч (w) и нелинейного элемента L э (w, a ), y э (w, a ).

Автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (2.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте w = w 0 и значениях амплитуды a = a 0 + Da и a = a 0 - Da , где Da > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a 0 + Da и a 0 - Da по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q¢(a ) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг y э (a ), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

x = 0 (2.36)

существует, если выполняются условия:

L лч (w) = - L э (a ); (2.37)

y лч (w) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.38)

Уравнение (2.38) позволяет определить частоту w = w 0 периодического решения, а уравнение (2.37) - его амплитуду a = a 0 .

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 2.12).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (2.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста : периодическое решение с частотой w = w 0 и амплитудой a = a 0 устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды Da > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы y лч (w) через линию -p равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 +Da ), и не равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 -Da ).

На рис. 2.12 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами w 01 , w 02 и w 03 , определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики y лч (w) с линией -180 0 . Амплитуды периодического решения a 01 , a 02 и a 03 определяются из условия (2.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента -L э (w 01 , a ), -L э (w 02 , a ) и -L э (w 03 , a ).

Рис. 2.12. Логарифмические амплитудные и фазовая характеристики

Из трех решений, определенных на рис. 2.12, устойчивы два. Решение с частотой w = w 01 и амплитудой a = a 01 устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) не пересекает линию -180 0 , а в диапазоне частот 2, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 -Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Решение с частотой w = w 02 и амплитудой a = a 02 неустойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 02 ,a 02 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Высокочастотное периодическое решение с частотой w = w 03 и амплитудой a = a 03 устойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 +Da ), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 , а в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 -Da ), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 .

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой w 03 и амплитудой a 03 , а при больших по величине возмущениях - низкочастотные автоколебания с частотой w 01 и амплитудой a 01 .

Пример. Исследовать автоколебательные режимы в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию

где k=200 c -1 ; T 1 =1.5 c; T 2 =0.015 c,

а в качестве нелинейного элемента используется реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при с=10 В, b=2 В.

Р е ш е н и е. По таблице для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации:

При a ³ b, q¢(a ) = 0.

При построении характеристик нелинейного элемента целесообразно использовать относительное по сравнению с зоной нечувствительности значение амплитуды входного гармонического воздействия m = a /b. Перепишем выражение коэффициента гармонической линеаризации в виде

где - коэффициент передачи реле;

Относительная амплитуда.

Коэффициент передачи реле k н отнесем к линейной части системы и получим нормированные коэффициенты гармонической линеаризации

и нормированную логарифмическую амплитудную характеристику релейного элемента с обратным знаком

Если m ® 1, то -L э (m) ® ¥; а при m >> 1 -L э (m) = 20 lg m. Таким образом, асимптотами нормированной логарифмической амплитудной характеристики с обратным знаком являются вертикальная прямая и прямая с наклоном +20дб/дек, которые проходят через точку с координатами L = 0, m = 1 (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Определение периодического решения в релейной системе

с зоной нечувствительности

a 0 = b´m 1 = = 58 В.

Для решения вопроса о существовании автоколебаний в соответствии с нормированной логарифмической амплитудной характеристикой с обратным знаком нелинейного элемента и передаточной функцией линейной части системы

на рис. 2.13 построены логарифмические характеристики L лч (w), -L э (m) и y лч (w).

Частота периодического решения w 0 = 4.3 c -1 определяется в точке пересечения фазовой характеристики y лч (w) и линии -180 0 . Амплитуды периодических решений m 1 = 29 и m 2 = 1.08 находятся по характеристикам L лч (w) и -L э (m). Периодическое решение с малой амплитудой m 2 неустойчиво, а периодическое решение с большой амплитудой m 1 устойчиво.

Таким образом, в исследуемой релейной системе существует автоколебательный режим с частотой w 0 = 4.3 c -1 и амплитудой a 0 = b´m 1 = = 58 В.