Комплексным числом z наз. выражение , где а и в – вещественные числа, i – мнимая единица или специальный знак.
При этом выполняются соглашения:
1) с выражением a+bi можно производить арифметические операции по правилам, которые приняты для буквенных выражений в алгебре;
5) равенство a+bi=c+di, где a, b, c, d – действительные числа, имеет место тогда и только тогда, когда a=c и b=d.
Число 0+bi=bi называется мнимым или чисто мнимым .
Любое действительное число а есть частный случай комплексного числа, ведь его можно записать в виде a=a+ 0i. В частности, 0=0+0i, но тогда ели a+bi=0, то a+bi=0+0i, следовательно, a=b=0.
Т.о., комплексное число a+bi=0 тогда и только тогда, когда a=0 и b=0.
Из соглашений следуют законы преобразования комплексных чисел:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Мы видим, что сумма, разность, произведение и частное (где делитель не равен нулю) комплексных чисел, в свою очередь комплексное число.
Число а наз. вещественной частью комплексного числа z (обозначается ), в – мнимая часть комплексного числа z (обозначается ).
Комплексное число z с нулевой вещественной частью наз. чисто мнимым , с нулевой мнимой – чисто вещественным.
Два комплексных числа наз.равными, если у них совпадают и вещественная и мнимая части.
Два комплексных числа наз. сопряженными , если у них веществ. части совпадают, а мнимые отличаются знаками. , то сопряженное к нему .
Сумма сопряженных чисел есть число веществ, а разность чисто мнимое число. На множестве комплексных чисел естественным образом определены операции умножения и сложения чисел. Именно, если и - два комплексных числа, то сумма: ; произведение: .
Определим теперь операции вычитания и деления.
Заметим, что произведение двух комплексных чисел есть число веществ.
(т.к. i=-1). Это число наз. квадратом модуля числа . Т.о., если число , то его модуль есть вещественное число.
В отличие от вещественных чисел для комплексных чисел не вводится понятие «больше», «меньше».
Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __
Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP , изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .
Тригонометрическая формакомплексного числа . Наряду с записью комплексного числа в алгебраической форме также употребляется и другая, называемая тригонометрической .
Пусть комплексное число z=a+bi изображается вектором ОА с координатами (a,b). Обозначим длину вектора ОА буковой r: r=|ОА|, а угол, который он образует с положительным направлением оси Ох – через угол φ.
Воспользовавшись определениями функций sinφ=b/r, cosφ=a/r, комплексное число z=a+bi можно записать в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где , а угол φ определяется из условий
Тригонометрической формой комплексного числа z называется его представление в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где r и φ – действительные числа и r≥0.
Действительно число r называется модулем комплексного числа и обозначается |z|, а угол φ – аргументом комплексного числа z. Аргумент φ комплексного числа z обозначается Arg z.
Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме:
Это знаменитая формула Муавра.
8 .Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов
Векторное пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.
Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа. В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям :
1) х +у =у +х (коммутативность сложения);
2)(х +у )+z =x +(y +z ) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x +0 =x: для любого вектора x ;
4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х +у =0 ,
5) 1 · х =х, где 1 – единица поля
6) α (βx )=(αβ )х (ассоциативность умножения), где произведение αβ есть произведение скаляров
7) (α +β )х =αх +βх (распределительное свойство относительно числового множителя);
8) α (х +у )=αх +αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям 1-8.
Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.
Теорема “Простейшие свойства векторных пространств”
1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.
4. .
Док-во
Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть – еще один нулевой вектор. Тогда . Возьмем в первом случае , а во втором – . Тогда и , откуда следует, что , ч.т.д.
Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.
Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:
Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует 0*х=0
Теперь докажем утверждение 4). Пусть – произвольный вектор. Тогда
Отсюда сразу же следует, что вектор (-1)х является противоположным вектору х.
Пусть теперь х=0. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, и получаем:
Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует или 1*х=0 или х=0
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Набор векторов называется системой векторов.
Система из векторов называется линейно-зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что (1)
Система из k векторов называется линейно-независимой, если равенство (1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1) тривиальная.
Замечания:
1. Один вектор тоже образует систему: при линейно-зависимую, а при линейно независимую.
2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов:
1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно-зависима.
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно-зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно-зависима.
4. Система из k>1 векторов линейно-зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые векторы, входящие в линейно-независимую систему, образуют линейно-независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно-зависимую подсистему, линейно-зависима.
7. Если система векторов линейно-независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно-зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов - линейно зависима, то существуют числа , не все равные 0, что. В этом равенстве . В самом деле, если , то. Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда, т.е. вектор есть линейная комбинация векторов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ).
Тогда из равенства получаем .
Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.
Ранг и базис системы векторов. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов системы.
Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.
Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.
Док-во :
Пусть система имеет базис .
1 случай. Вектор - из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .
2 случай. Вектор - не из базиса. Тогда r>k.
Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как - базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , с, не все равные нулю, такие, что
Очевидно, что (если с=0, то базис системы является линейно зависимым).
Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.
Вычитая эти равенства, получим
Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим
Следовательно, разложение вектора по базису единственно.
Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.
рассмотрим множество R2 всевозможных упорядоченных пар (я» У) действительных чисел х%у € R. Для таких пар (а, Ь) = (с, d) тогда и только тогда, когда а = с и b - d. Введем 0а этом множестве R2 внутренние законы композиции в виде операций сложения и умножения. Сложение определим равенством £faa операция ассоциативна и коммутативна; она обладает (в соответствии с определением 4.5) нейтральным элементом (0, 0), и, по определению 4.6, для каждой пары (а, 6) можно указать симметричный (противоположный) элемент (-а, -6). Действительно, V(a, 6) £ R2 Кроме того, или Поле комплексных чисел. Умножение определим равенством Легко проверить, что введенная таким образом операция ассоциативна, коммутативна и относительно сложения дистрибутивна. Эта операция обладает нейтральным элементом, которым является пара (1, 0), поскольку Итак, относительно введенных операций сложения и умножения множество R2 является абелевым кольцом с единицей (см. табл. 4.1). ю* Между множеством пар (я, 0) € R2 и множеством действительных чисел ж G R нетрудно установить взаимно однозначное соответствие (ж, 0) х} из которого следует, что, Поле комплексных чисел. т.е. сложение и умножение таких пар выполняются так же, как и действительных чисел. Заменим пары вида (ж, 0) действительными числами, т.е. вместо (ж, 0) будем писать просто ж, в частности вместо (1, 0) - просто 1. Особое место в множестве R2 занимает пара (0, 1). Согласно (4.3) она обладает свойствами и получила специальное обозначение i, причем Тогда с учетом (4.2) и (4.3) любую пару (ж, у) € R2 можно представить в виде Поле комплексных чисел. Обозначим z. Элемент z называют комплексно сопряженным элементу z. С учетом (4.3) z-z = x2 -by2. Если z не совпадает с нейтральным элементом (0, 0), т.е. если ж и у неравны 0 одновременно (обозначают 2^0), то х2 + + у2 ф 0. Тогда обратным (симметричным, противоположным относительно операции умножения - см. 4.1) к элементу z = x + iy будет такой элемент г"1, что zz~l = 1 или zzz~l =z, т.е. (ж2 + y2)z~l = ж - гу. Отсюда -1_ Х 2 У \ Следовательно, всякий элемент гф О имеет обратный к свбе относительно операции умножения, а множество R2 с 00еденными на нем в соответствии с (4.1) и (4.3) операциями сложения и умножения является, таким образом, полем (см. табл. 4.1). Его называют полем (или множеством) комплексных чисел и обозначают С. Б силу указанного выше взаимно однозначного соответствия (г, 0) € R2 ++ х € R доле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел. Любой элемент г в С называют комплексным числом^ а его запись в виде z = x + iy> где ж,у£ R и i2 = -l,- алгебраической формой представленил комплексного числа. При этом £ называют действительной частью комплексного числа и обозначают Re z, а у - мнимой частью и обозначают Imz (t именуют мнимой единицей). Заметим, что мнимая часть комплексного числа есть действительное число. Название для у не совсем удачно, но как дань исторической традиции осталось и по сей день. Термин „комплексное число44 ввел в 1803 г. французский математик JI. Карно (1753-1823), но систематически этот термин стал употреблять с 1828 г. К. Гаусс, чтобы заменить им менее удачное „мнимое число44. В русской математической литературе XIX в. использовали термин „составное число44. Уже у Р. Декарта противопоставлены действительная и мнимая части комплексного числа. В Дальнейшем первые буквы французских слов reele (действительный) и imagimaire (мнимый) стали обозначениями этих частей, хотя многие математики считали сущность мнимых величин неясной и даже загадочной и мистической. Так, И. Ньютон не включал их в понятие числа, а Г. Лейбницу принадлежит Фраза: „Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием44. Поскольку множество R2 всевозможных пар действительных чисел можно отождествить с точками на плоскости, ка- ждому комплексному числу z =? х + iy соответствует точка у) (рис. 4.1), что позволяет говорить о геометрической форме представления комплексного числа. При отождествлении комплексных чисел с точками плоскости ее называют ком-плексной плоскостью, или плоскостью комплексных чисел. На оси Ох располагают действительные числа, т.е. числа z, для которых lmz = y = 0, а на оси Оу -числа z = = iy, называемые чисто мнимыми, для которых Re г = х = 0. Поэто-Рис. 4.1 му координатные оси в комплексной плоскости называют соответственно действительной и мнимой. Точки плоскости, отвечающие комплексно сопряженным элементам z и z (комплексно сопряженным числам), симметричны относительно действительной оси, а точки, изображающие z и -г, симметричны относительно начала координат. Расстояние Поле комплексных чисел. точки М(ж, у), изображающей комплексное число z = x + iy на плоскости, от начала координат называют модулем комплексного числа и обозначают \z\ или г. Угол, который образует радиус-вектор точки М с положительным направлением оси Ох, называют аргументом комплексного числа и обозначают Argz или (р (см. рис. 4.1). Отсчет угла производят как в тригонометрии: положительным направлением изменения угла считают направление против часовой стрелки. Ясно, что Arg z определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2я\ Единственное значение аргумента, удовлетворяющее условию (иногда 0, называют главным и обозначают argz. Таким образом, Arg* = arg2: + 2штг, m € Z. Для z - 0 значение Args не определено. Соответствующую этому числу точку (начало координат) характеризуют лишь условием \z\ = г = 0. Итак, каждому комплексному числу z на комплексной плоскости отвечает радиус-вектор точки М(х, у), которую можно задать ее полярными координатами: полярным радиусом г ^ 0, равным модулю комплексного числа, и поллрным углом совпадающим с главным значением аргумента этого комплексного числа. Согласно известным из школьного курса тригонометрии определениям тригонометрических функций и обратных к ним (см. 3.5), при любом расположении точки z на комплексной плоскости имеем x=rcosy>= X С учетом ограничений, налагаемых на главное значение аргумента комплексного числа, получим если х > 0; если х 0; если х = 0 и у. Из (4.6) следует, что правомерна запись + tsiny>), (4.8) Называемая тригонометрической формой представления комплексного числа. Для перехода от алгебраической формы представления к тригонометрической используют (4.5) и (4.7)» а для обратного перехода - (4.6). Отметим, что два отличных от нуля комплексных числа равны тогда и только тогда, когда модули их равны, а аргументы отличаются на слагаемые, кратные 2тг. Согласно (4.1) суммой комплексных чисел z\ и г2 будет комплексное число а их разностью - Из этих формул следует, что сложение (или вычитание) комплексных чисел аналогично сложению (или вычитанию) векторов в комплексной плоскости по правилу параллелограмма (рис. 4.2) (при этом соответствующие координаты векторов складывают или вычитают). Поэтому для модулей комплексных чисел справедливы неравенства треугольник а в виде (длина любой стороны треугольника не больше суммы длин двух его других сторон). Однако этим аналогия между комплексными числами и векторами исчерпывается. Сумма или разность комплексных чисел может быть действительным числом (например, сумма комплексно сопряженных чисел г-f z = = 2х, х = Rez е R). Согласно (4.3) произведением комплексных чисел z\ и z2 будет комплексное число.Деление числа ф 0 вводят как действие, обратное умножению, т.е. под частным Z1/22 при V*2 ф 0 понимают комплексное число -г, удовлетворяющее равенству z^z = z\. После умножения обеих частей этого равенства на 22, получим Возведение комплексного числа z в степень п € N является умножением z на себя п раз с учетом того, что при к 6 N Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи (4.8) дает возможность упростить умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел. Так, для z\ = r\(cos(p\ + isiny?i) и Z2 = Г2(со + -f isin no (4.3) можно установить, что На комплексной плоскости (рис. 4.3) умножению соответствует поворот отрезка ОМ на угол (против часовой стрелки при 0) и изменение его длины в Г2 = \z2\ раз, * делению - поворот этого отрезка на тот же угол по часовой стрелке и изменение его длины в 1/гг = 1/|г2| раз- Рассматривая возведение в степень п £ N как умножение z на себя п раз, полунаем В честь английского математика А. де Муавра (1667-1754) это соотношение называют формулой Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень. Возведение комплексного числа в рациональную степень q = m/n, q€ Q, m € Z, n6N, связано с возведением этого числа в степень 1/п, или, как принято говорить, с извлечением корня n-й степени из комплексного числа. Извлечение корня - это операция, обратная возведению в степень, т.е. = ш, если wn = z. Пусть). Тогда из (4.13) имеем и, учитывая равенство комплексных чисел, получим Из выражения (4.14), называемого формулой Муавра извлечения корня целой положительной степени из комплексного числа) следует, что среди возможных значений y/z различными будут п значений, соответствующих к = = 0, п - 1. Все п различных значений для $fz имеют один и фот же модуль, а их аргументы отличаются на углы, кратные 2jr/n. Значениям отвечают точки комплексной плоскости в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса 1/f с центром в начале координат. При этом радиус-вектор одной из вершин образует с осью Ох угол (р/п. Из (4.13) и (4.14) следует формула для возведения комплексного числа z /0 в рациональную степень g€Q. Бели g = m/n, где m € Z и n € N, есть несократимая дробь, то Пример 4.10. Пусть Тогда, согласно (4.5), ri = 1 и rj = = 2. Анализируя действительные и мнимые части комплексных чисел z\ и Z2 (рис. 4.4), с учетом (4.7) получаем (Поэтому в тригонометрической форме. Согласно (4.11) и (4.12) найдем: Используя (4.13), возведем z\ в степень п = 4 применив (4.14), извлечем из z2 корень степени п = 3 Результаты вычислений приведены на рис. 4.4. Трем значениям корня третьей степени из zi соответствуют вершины правильного треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса причем полярные углы этих вершин = я*/18, 4>в = 13тг/18 и = 25тг/18 (или = -11^/18).
Понятие комплексного числа, прежде всего, связано с уравнением . Не существует действительных чисел, которые удовлетворяли бы этому уравнению.
Таким образом, комплексные числа возникли как обобщение (расширение) поля действительных чисел при попытках решать произвольные квадратные (и более общие) уравнения путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в котором всегда было бы выполнимо действие извлечения корня.
Определение. Число, квадрат которого равен - 1, принято обозначать буквой i и называть мнимой единицей.
Определение . Полем комплексных чисел С называется минимальное расширение поля действительных чисел, содержащее корень уравнения .
Определение . Поле С называется полем комплексных чисел , если оно удовлетворяет следующим условиям:
Теорема. (О существовании и единственности поля комплексных чисел). Существует единственное с точностью до обозначения корня уравнения поле комплексных чисел С .
Каждый элемент можно однозначно представить в следующем виде:
где , – корень уравнения i 2 +1=0.
Определение . Любой элемент называется комплексным числом , действительное число x называется действительной частью числа z и обозначается , действительное число y называетсямнимой частью числа z и обозначается .
Таким образом, комплексное число представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел x и y .
Если х =0, то число z= 0+iy=iy называется чисто мнимым или мнимым. Если y =0, то число z =x+ 0i=х отождествляется с действительным числом х.
Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части:
Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части:
Определение . Два комплексных числа, имеющих одну и ту же действительную часть, мнимые части которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, называются комплексно–сопряженными или просто сопряженными .
Число,сопряженное числу z , обозначается . Таким образом, если , то .
1.3. Модуль и аргумент комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Геометрически комплексное число изображается на плоскости (рис. 1) как точка М с координатами (x , y ).
Определение . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С , оси Ох и Оу, на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются действительной и мнимой осями соответственно.
Положение точки можно определить также с помощью полярных координат r и φ , т.е. с помощью длины радиуса–вектора и величины угла наклона радиуса–вектора точки М (x, y ) к положительной действительной полуоси Ох .
Определение . Модулем комплексного числа называется длина вектора , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.
Модуль комплексного числа обозначается или буквой r и равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей.
Опр. Системой компл-х чисел наз-ся мин-ое поле, которое яв-ся расширением поля действительных чисел и в котором есть элемент i (i 2 -1=0)
Опр. Алгебра <ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i> наз-ся сис-ой комп-х чисел, если вып-ся следующие условия (аксиомы):
1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m
2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,b∊ℂa+b=b+a
4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a
5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0
6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n
7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)
8. a,b∊ℂa∙b=b∙a
9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a
10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1
11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc
12.
13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b
14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0
15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ и (α∙β)∊ℳ}⇒ℳ=ℂ
Св-ва ℂ чисел:
1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i
2. Поле комп-х чисел нельзя линейно упорядочить т.е. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-невозможно.
3. Основная теорема алгебры: Поле ℂ чисел алгебраически замкнуто, то есть любой мн-н полож. степени над полем ℂ чисел имеет хотя бы один компл. корень
След-е из осн. теоремы алг.: Любой мн-н полож. степени над полем комплексных чисел можно разл-ть на произведение … первой степени с положительным коэффициентом.
След-е: любое квад-е ур-е имеет 2-а корня: 1) D>0 2-а разл. действ. корня 2)D=0 2-а деств. совп-х корня 3)D<0 2-а компл-х корня.
4. Аксиом. теория комплексных чисел категорична и непротиворечива
Методика.
В общеобразовательных классах не рассматривается понятие комплексного числа, ограничиваются лишь изучением действительных чисел. Но в старших классах школьники уже обладают достаточно зрелым математическим образованием и в состоянии понимать необходимость расширения понятия о числе. С точки зрения общего развития, знания о комплексных числах находят применение в естественных науках и технике, что немаловажно для школьника в процессе выбора будущей профессии. Авторы некоторых учебников включают изучение данной темы как обязательной в свои учебники по алгебре и началам математического анализа для профильных уровней, что предусмотрено государственным стандартом.
С методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.
Однако даже в старших классах у многих школьников плохо развито абстрактное мышление, или очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Или же наоборот, школьник оперирует абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания.
После изучения темы “Комплексные числа” ученики должны иметь четкое представление о комплексных числах, знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, иметь представление о геометрической модели комплексных чисел
В учебнике для математических классов Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа» вводится в 11 классе. Изучение темы предлагается во втором полугодии 11 класса после того, как в 10 классе был изучен раздел тригонометрии, а в 11 - интеграл и дифференциальные уравнения, показательная, логарифмическая и степенная функции, многочлены. В учебнике тема «Комплексные числа и операции над ними» разбита на два параграфа: Комплексные числа в алгебраической форме; Тригонометрическая форма комплексных чисел. Рассмотрение темы «Комплексные числа и операции над ними» начинается с рассмотрения вопроса о решении квадратных уравнений, уравнений третьей и четвертой степени и, как следствие, выявляется необходимость введения «нового числа i». Сразу же даются понятия комплексных чисел и действий над ними: нахождение суммы, произведения и частного комплексных чисел. Далее дается строгое определение понятия комплексного числа, свойства операций сложения и умножения, вычитания и деления. В следующем пункте говорится о сопряженных комплексных числах и некоторых их свойствах. Далее рассматривается вопрос об извлечении квадратных корней из комплексных чисел и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. В следующем параграфе рассматриваются: геометрическое изображение комплексных чисел; полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел; умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра, применение комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств; извлечение корня из комплексного числа; основная теорема алгебры многочленов; комплексные числа и геометрические преобразования, функции комплексного переменного.
В учебнике С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа рассматривается в 11 классе после изучения всех тем, т.е. в конце школьного курса алгебры. Тема разделена на три параграфа: Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел; Тригонометрическая форма комплексных чисел; Корни многочленов, показательная форма комплексных чисел. Содержание параграфов достаточно объемное, содержится много понятий, определений, теорем. В параграфе «Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел» содержится три раздела: алгебраическая форма комплексного числа; сопряженные комплексные числа; геометрическая интерпретация комплексного числа. Параграф «Тригонометрическая форма комплексного числа» содержит определения и понятия необходимые для введения понятия тригонометрической формы комплексного числа, а также алгоритм перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической форме записи комплексного числа. В последнем параграфе «Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел» содержится три раздела: корни из комплексных чисел и их свойства; корни многочленов; показательная форма комплексного числа.
Материал учебника представлен в небольшом объеме, но вполне достаточном для понимания учащимися сути комплексных чисел и овладением минимальных знаний о них. В учебнике небольшое количество упражнений и не рассматривается вопрос о возведении комплексного числа в степень и формула Муавра
В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», профильный уровень, 10 класс тема «Комплексные числа» вводится во втором полугодии 10 класса сразу после изучения тем «Действительные числа» и «Тригонометрия». Такое размещение не случайно: и числовая окружность, и формулы тригонометрии находят активное применение при изучении тригонометрической формы комплексного числа, формулы Муавра, при извлечении из комплексного числа квадратного и кубического корней. Тема «Комплексные числа» представлена в 6-ой главе и разбита на 5 параграфов: комплексные числа и арифметические операции над ними; комплексные числа и координатная плоскость; тригонометрическая форма записи комплексного числа; комплексные числа и квадратные уравнения; возведение комплексного числа в степень, извлечение кубического корня из комплексного числа.
Понятие комплексного числа вводится как расширение понятия о числе и невозможности выполнения некоторых действий в действительных числах. В учебнике представлена таблица с основными числовыми множествами и операциями, допустимыми в них. Перечисляются минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа, и затем вводится понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, равенство комплексных чисел, их сумма, разность, произведение и частное.
От геометрической модели множества действительных чисел переходят к геометрической модели множества комплексных чисел. Рассмотрение темы «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» начинается с определения и свойств модуля комплексного числа. Далее рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа, определение аргумента комплексного числа и стандартная тригонометрическая форма комплексного числа.
Далее изучается извлечение квадратного корня из комплексного числа, решение квадратных уравнений. И в последнем параграфе вводится формула Муавра и выводится алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.
Также в рассматриваемом учебнике в каждом параграфе параллельно с теоретической частью рассматривается несколько примеров, иллюстрирующих теорию и дающих более осмысленное восприятие темы. Приведены краткие исторические факты.