Результат операции “*” определяется как и в таблице Пифагора. Например, “произведение” 3 * 4 равно числу, стоящему на пересечении строки с номером 3 и столбца с номером 4. В нашем случае это число равно 2. Следовательно, 3 * 4 = 2. Как вы думаете, по какому правилу была заполнена эта таблица?
Заметим, что результат выполнения операции “*” над числами из множества {0, 1, 2, ..., 9} является числом из этого же множества. В таких случаях говорят, что множество замкнуто относительно операции, а операция называется алгебраической .
Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что таблица симметрична относительно диагонали
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, . . .). Это говорит о том, что операция “*” обладает свойством коммутативности
, то есть для любых чисел a
и b
из множества {0, 1, 2, ..., 9} выполняется равенство: a
* b
=
b
* a
.
Используя таблицу, вы сможете убедиться, что выполняется равенство (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4). Набравшись терпения и перебрав все упорядоченные тройки чисел, вы убедитесь, что новая операция обладает свойством ассоциативности , то есть для любых чисел a , b , c из множества {0, 1, 2, ..., 9} выполняется равенство: (a * b ) * c = a * (b * c ).
Проверьте, будет ли множество {0, 1, 2, ..., 9} замкнуто относительно умножения, задаваемого таблицей Пифагора.
Р ассмотренные примеры могут создать у вас впечатление, что как бы вы ни вводили операцию над числами, она всегда будет коммутативной и ассоциативной. Не будем спешить с выводом.
Рассмотрим еще одну операцию. Обозначим ее через “o” и назовем операцией “Круг”. Она определяется таблицей:
Попытайтесь найти закономерность, по которой составлена данная таблица. Опираясь на эту закономерность, впишите в таблицу пропущенные результаты. Будет ли операция “o” алгебраической? Докажите, что операция “o” коммутативна . Однако эта операция не ассоциативна ! Чтобы убедиться в этом, подберите три числа m , n и k , для которых m o (n o k ) ¹ (m o n ) o k .
П редставим вам еще одну операцию: -.
Введем ее на множестве натуральных чисел так: m - n = m n .
Например, 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.
Будет ли операция “-” алгебраической? Рассмотренного выше примера достаточно, чтобы убедиться, что новая операция не коммутативна .
Вычислите результат выполнения операции
2 - (1 - 3), а затем проверьте равенство 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. Если вы все сделаете правильно, то сможете сказать, что операция “-” не ассоциативна
.
1. Являются ли алгебраическими операции сложения и умножения на множестве:
а) четных чисел; б) нечетных чисел?
2. Является ли алгебраической операция вычитания на множестве:
а) натуральных чисел; б) целых чисел?
3. Является ли алгебраической операция деления на множестве:
а) ненулевых целых чисел;
б) ненулевых рациональных чисел?
4. Покажите, что операция
x D y = x + y – 3
5. Покажите, что операция
x Ñ y = x + y – xy
является алгебраической на множестве всех целых чисел. Будет ли эта операция ассоциативной и/или коммутативной?
6. По аналогии с таблицей Пифагора составьте свою таблицу, определяющую операцию “à” над числами {0, 1, 2, 3, 4}. Результат m à n операции над числами m и n в этой таблице должен равняться остатку от деления на 5 обычного произведения mn .
Будет ли операция “à” алгебраической? Если да, то будет ли она ассоциативной и/или коммутативной?
7. Придумайте несколько своих примеров операций над числами.
Какие из них будут алгебраическими? Какие из ваших алгебраических операций будут ассоциативными и/или коммутативными?
Для тех, кто хочет вести секретную переписку с друзьями
О днажды Фома получил от одного из своих друзей телеграмму.
Кто такой Фома? О! Это личность весьма примечательная. Ничему на слово не верит, все пытается делать по-своему. Любит, с одной стороны, находить новое решение старых проблем и, с другой стороны, использовать старые знания для преодоления новых трудностей. Любит читать самые разные математические книги, разыскивать в них нестандартные ситуации и находить из них выход. А больше всего любит сам такие ситуации создавать.
Так вот, телеграмма была какой-то странной. Вот что в ней было написано:
“йажзеирпончорсмедж”.
Сможете ли вы “прочитать” этот текст? Фома же, немного подумав, понял секрет этой телеграммы. В ней было приглашение в гости. Он решил ответить в том же духе. Сочинил ответную телеграмму и зашифровал ее таким же способом. Получилась запись из двух строк: “приеду в субботу встречайте”, “етйачертсвутоббусвудеирп”.
Однако Фоме захотелось придумать более интересную шифровку. Он разбил текст своей телеграммы на две равные части и каждую из них зашифровал по старому методу:
“приеду в суббо “оббусвудеирп | ту встречайте”, етйачертсвут”. |
П осле окончания шифровки Фома захотел всю свою переписку с другом вести только зашифрованными текстами, меняя время от времени способ шифровки. Поэтому он рьяно взялся за разработку шифра.
Буквы исходного текста он решил заменять номерами позиций, которые занимают эти буквы. Вот какой список номеров получил Фома для телеграммы друга: (1, 2, 3, ..., 18).
Затем он заметил, что зашифрованный текст отличается от исходного только измененным порядком букв. Как изменяется порядок букв, легко увидеть с помощью тех же номеров позиций. Например, зашифрованный текст телеграммы друга Фома теперь смог представить в виде списка: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).
Сопоставление этих двух списков дает ключ к шифровке текста: 
.
Символьная запись читается так: “1 переходит в 18”. (Вместо нее часто используется другая запись: 1 ® 18.)
Направление стрелок определяет порядок шифровки текста. Например, буква, стоящая в шифруемом тексте в первой позиции, должна занять в зашифрованном тексте 18-ю позицию.
Если направление стрелок сменить на противоположное, то та же двустрочная таблица будет определять порядок расшифровки текста. Например, буква, стоящая в зашифрованном тексте в 18-й позиции, должна занять в расшифрованном тексте первую позицию.
Наконец, если первая строка будет всегда связана с исходным текстом, то отпадет необходимость в использовании стрелок. (При шифровке исходным текстом является шифруемый текст, а при расшифровке – зашифрованный.)
Поняв все это, Фома быстро записал ключ ко 2-ой шифровке своей телеграммы:
.
Осталось только сообщить каким-либо образом
этот ключ своему другу – и тайна переписки будет гарантирована!
Если идеи Фомы вы поняли, то вот вам его девиз в зашифрованном виде:
“водянойпероревряй”.
Оно зашифровано ключом:
Вы, вероятно, уже догадываетесь, что шифровальных ключей подобного вида можно придумать очень много. Каждый из них можно представить в виде двустрочной таблицы:
.
Здесь в верхней строке стоят все натуральные числа от 1 до n в возрастающем порядке. Нижняя строка получается некоторой перестановкой чисел из верхней строки. Вся таблица в целом называется подстановкой порядка n .
В ернемся к Фоме. С помощью подстановки-ключа
он зашифровал сообщение, состоящее из одного слова, и отправил его другу. Нерасшифрованное сообщение тот зашифровал еще раз, но уже с помощью другого ключа:
.
Получившееся дважды зашифрованное сообщение он адресовал вам:
“сноас”.
Расшифруйте это сообщение.
Процесс расшифровки вы можете провести значительно быстрее, если будете знать, как над подстановками выполняется одна алгебраическая операция. Эта операция называется умножением подстановок . (При желании вы можете назвать ее по-другому, ибо она никак не связана с обычным умножением чисел.)
Рассмотрим на примере, как она выполняется. Умножим подстановки, с помощью которых шифровалось сообщение Фоме:
.
Процедура умножения сводится к последовательному проведению подстановок.
В первой подстановке (А ) 1 ® 5;
во второй подстановке (В ) 5 ® 1.
В итоге получаем: 1 ® 1.
Аналогично, из “2 ® 2” и “2 ® 3” следует: “2 ® 3”. Проведя еще три рассуждения такого типа, получим подстановку-произведение
.
Заметим, что произведение определено только для подстановок с одинаковым числом столбцов.
Используя подстановку AB как шифратор, вы можете теперь в один прием расшифровать сообщение Фомы “сноас”. Заодно проконтролируете себя.
Если вам будет интересно, то можете придумать свои подстановки-шифраторы сообщений и вести тайную переписку с друзьями.
Занимаясь расшифровкой сообщений, вы познакомились с алгебраической операцией над новыми объектами – подстановками.
Е сли кого-то из вас заинтересовали не только шифровки, но и сами по себе подстановки, то вы можете лучше познакомиться с ними, выполнив следующие задания.
1. Найдите произведения подстановок:
2. Найдите произведение ВА подстановок А и В , рассмотренных выше. Используя подстановку ВА как шифратор, расшифруйте еще раз сообщение “сноас”. Сравните расшифрованный текст с результатом предыдущей расшифровки.
Если вы выполните задание 2, то сможете сказать, обладает ли умножение подстановок свойством коммутативности .
Можно показать, что умножение подстановок обладает свойством ассоциативности .
Прежде, чем обратиться к следующему заданию, рассмотрим несколько общих свойств подстановок.
Подстановка
называется тождественной . Ее обозначают через E .
Как вы сами легко установите, тождественная подстановка не меняет текста сообщения. В этом случае говорят, что сообщение идет открытым текстом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть Х - метрическое пространство, МÌ Х, аÎХ. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М\{a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а.
Замечания. 1. Предельная точка может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0,2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит.
2. Точка множества М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1 - изолированная точка множества (-1,0)È{1}.
3. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек х n ÎM, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. Для доказательства достаточно взять открытые шары в этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, принадлежащую М. Верно и обратное, если для а есть такая последовательность, то точка является предельной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Обозначение .
Отметим, что замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. Например, в дискретном пространстве замыкание шара B(a,1) равно самому шару (состоит из одной точки a) в то время как замкнутый шар (a,1) совпадает со всем пространством.
Опишем некоторые свойства замыкания множеств.
1. МÌ . Это следует непосредственно из определения замыкания.
2. Если М Ì N, то Ì 
. Действительно, если a Î , a ÏМ, то в любой окрестности a есть точки множества М. Они же являются точками N. Поэтому aÎ . Для точек из М это ясно по определению.
4. 
.
5. Замыкание пустого множества пустое. Это соглашение не следует из общего определения, но является естественным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Множество M Ì X называется замкнутым, если = M.
Множество M Ì X называется открытым, если замкнуто множество X\M.
Множество M Ì X называется всюду плотным в X, если = X.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a,r)ÌM при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a,r)ÌХ/M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка не входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными.
Таким образом, граничные точки характеризуются тем, что в каждой их окрестности есть точки как входящие, так и не входящие в M.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Для того, чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними.
Примерами замкнутых множеств на прямой являются , (или Z \ M – дополнение к множеству M до Z ) замкнуто. Действительно, если [` M ] не замкнуто, то оно не содержит какую-то свою предельную точку m . Но тогда m О M , причем каждый интервал, содержащий m , пересекается с множеством [` M ], т. е. имеет точку, не лежащую в M , а это противоречит тому, что M – открытое. Аналогично, тоже прямо из определения, доказывается, что если M замкнуто, то [` M ] открыто (проверьте!).
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема. Любое открытое множество M можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (т. е. с концами в рациональных точках).
Доказательство . Рассмотрим объединение U всех интервалов с рациональными концами, являющихся подмножествами нашего множества. Докажем, что это объединение совпадает со всем множеством. Действительно, если m – какая-то точка из M , то существует интервал (m 1 , m 2) М M , содержащий m (это следует из того, что M – открытое). На любом интервале можно найти рациональную точку. Пусть на (m 1 , m ) – это m 3 , на (m , m 2) – это m 4 . Тогда точка m покрыта объединением U , а именно, интервалом (m 3 , m 4). Таким образом, мы доказали, что каждая точка m из M покрыта объединением U . Кроме того, как очевидно следует из построения U , никакая точка, не содержащаяся в M , не покрыта U . Значит, U и M совпадают.
Важным следствием из этой теоремы является тот факт, что любое открытое множество есть счетное объединение интервалов.
Нигде не~плотные множества и~множества меры~ноль. Канторово множество>
Приложение 2 . Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество
Множество A называется нигде не плотным , если для любых различных точек a и b найдется отрезок [c , d ] М [a , b ], не пересекающийся с A . Например, множество точек последовательности a n = [ 1/(n )] является нигде не плотным, а множество рациональных чисел – нет.
Теорема Бэра. Отрезок нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
Доказательство . Предположим, что существует последовательность A k нигде не плотных множеств, таких что И i A i = [a , b ]. Построим следующую последовательность отрезков. Пусть I 1 – какой-нибудь отрезок, вложенный в [a , b ] и не пересекающийся с A 1 . По определению нигде не плотного множества на отрезке I 1 найдется отрезок, не пересекающийся с множеством A 2 . Назовем его I 2 . Далее, на отрезке I 2 возьмем аналогичным образом отрезок I 3 , не пересекающийся с A 3 , и т. д. У последовательности I k вложенных отрезков есть общая точка (это одно из основных свойств действительных чисел). Эта точка по построению не лежит ни в одном из множеств A k , значит, эти множества не покрывают весь отрезок [a , b ].
Назовем множество M имеющим меру ноль , если для любого положительного e найдется последовательность I k интервалов с суммарной длиной меньше e , покрывающая M . Очевидно, что любое счетное множество имеет меру ноль. Однако бывают и несчетные множества, имеющие меру ноль. Построим одно такое, очень известное, называемое канторовым.
|
|
| Рис. 11 |
Возьмем отрезок . Поделим его на три равные части. Средний отрезок выкинем (рис. 11, а ). Останется два отрезка суммарной длины [ 2/3]. С каждым из них проделаем точно такую же операцию (рис. 11, б ). Останется четыре отрезка суммарной длины [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Продолжая так далее (рис. 11, в –е ) до бесконечности, получаем множество, которое имеет меру меньше любой наперед заданной положительной, т. е. меру ноль. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этого множества и бесконечными последовательностями нулей и единиц. Если при первом "выкидывании" наша точка попала в правый отрезок, поставим в начале последовательности 1, если в левый – 0 (рис. 11, а ). Далее, после первого "выкидывания", получаем маленькую копию большого отрезка, с которой поступаем точно так же: если наша точка после выкидывания попала в правый отрезок, поставим 1, если в левый – 0, и т. д. (проверьте взаимную однозначность), рис. 11, б , в . Поскольку множество последовательностей нулей и единиц имеет мощность континуум, канторово множество также имеет мощность континуум. Кроме того, несложно доказать, что оно нигде не плотно. Однако неверно, что оно имеет строгую меру ноль (см. определение строгой меры). Идея доказательства этого факта в следующем: возьмем последовательность a n , очень быстро стремящуюся к нулю. Для этого подойдет, например, последовательность a n = [ 1/(2 2 n )]. После чего докажем, что этой последовательностью нельзя покрыть канторово множество (проделайте это!).
Приложение 3 . Задачи
Операции над множествами
Множества A и B называются равными , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B , и наоборот. Обозначение: A = B .
Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B . Обозначение: A М B .
1.
Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли
одно из них подмножеством другого:
|
2. Докажите, что множество A тогда и только тогда является подмножеством множества B , когда каждый элемент, не принадлежащий B , не принадлежит A .
3. Докажите, что для произвольных множеств A , B и C
а) A М A ; б) если A М B и B М C , то A М C ;
в) A = B , если и только если A М B и B М A .
Множество называется пустым , если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение: Ж .
4.
Сколько элементов у каждого из следующих множеств:
|
5. Сколько подмножеств у множества из трех элементов?
6. Может ли у множества быть ровно а) 0; б*) 7; в) 16 подмножеств?
Объединением множеств A и B x , что x О A или x О B . Обозначение: A И B .
Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x О B . Обозначение: A З B .
Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x П B . Обозначение: A \ B .
7. Даны множества A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D = {0,7,23,1998}. Найдите множества:
| а) A И B ; | б) A З B ; | в) (A З B )И D ; |
| г) C З (D З B ); | д) (A И B )З (C И D ); | е) (A И (B З C ))З D ; |
| ж) (C З A )И ((A И (C З D ))З B ); | з) (A И B ) \ (C З D ); | и) A \ (B \ (C \ D )); |
| к) ((A \ (B И D )) \ C )И B . |
8. Пусть A – множество четных чисел, а B – множество чисел, делящихся на 3. Найдите A З B .
9. Докажите, что для любых множеств A , B , C
а) A И B = B И A , A З B = B З A ;
б) A И (B И C ) = (A И B )И C , A З (B З C ) = (A З B )З C ;
в) A З (B И C ) = (A З B )И (A З C ), A И (B З C ) = (A И B )З (A И C );
г) A \ (B И C ) = (A \ B )З (A \ C ), A \ (B З C ) = (A \ B )И (A \ C ).
10. Верно ли, что для любых множеств A , B , C
| а) A З Ж = Ж , A И Ж = A ; | б) A И A = A , A З A = A ; | в) A З B = A Ы A М B ; |
| г) (A \ B )И B = A ; 7 д) A \ (A \ B ) = A З B ; | е) A \ (B \ C ) = (A \ B )И (A З C ); | |
| ж) (A \ B )И (B \ A ) = A И B ? |
Отображения множеств
Если каждому элементу x множества X поставлен в соотвествие ровно один элемент f (x ) множества Y , то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y . При этом, если f (x ) = y , то элемент y называется образом элемента x при отображении f , а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f . Обозначение: f : X ® Y .
11. Нарисуйте всевозможные отображения из множества {7,8,9} в множество {0,1}.
Пусть f : X ® Y , y О Y , A М X , B М Y . Полным прообразом элемента y при отображении f называется множество {x О X | f (x ) = y }. Обозначение: f - 1 (y ). Образом множества A М X при отображении f называется множество {f (x ) | x О A }. Обозначение: f (A ). Прообразом множества B М Y называется множество {x О X | f (x ) О B }. Обозначение: f - 1 (B ).
12. Для отображения f : {0,1,3,4} ® {2,5,7,18}, заданного картинкой, найдите f ({0,3}), f ({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).
| а) б) в) |
13. Пусть f : X ® Y , A 1 , A 2 М X , B 1 , B 2 М Y . Всегда ли верно, что
а) f (X ) = Y ;
б) f - 1 (Y ) = X ;
в) f (A 1 И A 2) = f (A 1)И f (A 2);
г) f (A 1 З A 2) = f (A 1)З f (A 2);
д) f - 1 (B 1 И B 2) = f - 1 (B 1)И f - 1 (B 2);
е) f - 1 (B 1 З B 2) = f - 1 (B 1)З f - 1 (B 2);
ж) если f (A 1) М f (A 2), то A 1 М A 2 ;
з) если f - 1 (B 1) М f - 1 (B 2), то B 1 М B 2 ?
Композицией отображений f : X ® Y и g : Y ® Z называется отображение, сопоставляющее элементу x множества X элемент g (f (x )) множества Z . Обозначение: g ° f .
14. Докажите, что для произвольных отображений f : X ® Y , g : Y ® Z и h : Z ® W выполняется следующее: h ° (g ° f ) = (h ° g )° f .
15. Пусть f : {1,2,3,5} ® {0,1,2}, g : {0,1,2} ® {3,7,37,137}, h : {3,7,37,137} ® {1,2,3,5}– отображения, показанные на рисунке:
| f : g : h : |
Нарисуйте картинки для следующих отображений:
а) g ° f ; б) h ° g ; в) f ° h ° g ; г) g ° h ° f .
Отображение f : X ® Y называется биективным , если для каждого y О Y найдется ровно один x О X такой, что f (x ) = y .
16. Пусть f : X ® Y , g : Y ® Z . Верно ли, что если f и g биективны, то и g ° f биективно?
17. Пусть f : {1,2,3} ® {1,2,3}, g : {1,2,3} ® {1,2,3}, – отображения, изображенные на рисунке:
18. Про каждые два из следующих множеств выясните, существует ли биекция из первого во второе (надлежит считать, что ноль – натуральное число):
а) множество натуральных чисел;
б) множество четных натуральных чисел;
в) множество натуральных чисел без числа 3.
Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z
1) " x ,y О X r (x ,y ) і 0, причем r (x ,y ) = 0, если и только если x = y (неотрицательность ); 2) " x ,y О X r (x ,y ) = r (y ,x ) (симметричность ); 3) " x ,y ,z О X r (x ,y ) + r (y ,z ) і r (x ,z ) (неравенство треугольника ). 19 19. X
а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;
б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
в) X
= C
[a
,b
a
,b
] функций,
Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество U r (x ) = {y О x : r (x ,y ) < r } (соответственно, B r (x ) = {y О X : r (x ,y ) Ј r }).
Внутренней точкой множества U М X U
открытым окрестностью этой точки.
Предельной точкой множества F М X F .
замкнутым
20. Докажите, что
21. Докажите, что
б) объединение множества A замыкание A
Отображение f : X ® Y называется непрерывным
22.
23. Докажите, что
F (x ) = inf y О F r (x ,y
F .
24. Пусть f : X ® Y – . Верно ли, что обратное к нему непрерывно?
Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y гомеоморфизмом . Пространства X , Y гомеоморфными .
25.
26. Для каких пар X , Y f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y вложениями )?
27*. локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).
Метрические пространства и непрерывные отображения
Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z , удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) " x ,y О X r (x ,y ) і 0, причем r (x ,y ) = 0, если и только если x = y (неотрицательность ); 2) " x ,y О X r (x ,y ) = r (y ,x ) (симметричность ); 3) " x ,y ,z О X r (x ,y ) + r (y ,z ) і r (x ,z ) (неравенство треугольника ). 28. Докажите, что следующие пары (X ,r ) являются метрическими пространствами:
а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;
б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
в) X
= C
[a
,b
] – множество непрерывных на [a
,b
] функций,
Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество U r (x ) = {y О x : r (x ,y ) < r } (соответственно, B r (x ) = {y О X : r (x ,y ) Ј r }).
Внутренней точкой множества U М X называется такая точка, которая содержится в U вместе с некоторым шаром ненулевого радиуса.
Множество, все точки которого внутренние, называется открытым . Открытое множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки.
Предельной точкой множества F М X называется такая точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много точек множества F .
Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым (сравните это определение с тем, которое было дано в приложении 1).
29. Докажите, что
а) множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто;
б) конечное объединение и счетное пересечение замкнутых множеств замкнуто;
в) счетное объединение и конечное пересечение открытых множеств открыто.
30. Докажите, что
а) множество предельных точек любого множества является замкнутым множеством;
б) объединение множества A и множества его предельных точек ( замыкание A ) является замкнутым множеством.
Отображение f : X ® Y называется непрерывным , если прообраз каждого открытого множества открыт.
31. Докажите, что это определение согласуется с определением непрерывности функций на прямой.
32. Докажите, что
а) расстояние до множества r F (x ) = inf y О F r (x ,y ) является непрерывной функцией;
б) множество нулей функции пункта а) совпадает с замыканием F .
33. Пусть f : X ® Y
Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y , обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом . Пространства X , Y , для которых такое отображение существует, называются гомеоморфными .
34. Для каждой пары из следующих множеств установите, гомеоморфны ли они:
35. Для каких пар X , Y пространств из предыдущей задачи существует непрерывное отображение f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y – такие отображения называют вложениями )?
36*. Придумайте непрерывное отображение плоскости на тор, которое было бы локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).
Полнота. Теорема Бэра
Пусть X
– метрическое пространство. Последовательность
x
n
его элементов называется фундаментальной
, если
|
37. Докажите, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Верно ли обратное утверждение?
Метрическое пространство называется полным , если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится.
38. Верно ли, что пространство, гомеоморфное полному, полно?
39. Докажите, что замкнутое подпространство полного пространства само полно; полное подпространство произвольного пространства замкнуто в нем.
40. Докажите, что в полном метрическом пространстве последовательность вложенных замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю, имеет общий элемент.
41. Можно ли в предыдущей задаче убрать условие полноты пространства или стремления к нулю радиусов шаров?
Отображение f
метрического пространства X
в себя
называется сжимающим
, если
|
42. Докажите, что сжимающее отображение непрерывно.
43. а) Докажите, что сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет ровно одну неподвижную точку.
б) На карту России масштаба 1:5 000 000 положили карту России масштаба 1:20 000 000. Докажите, что найдется точка, изображения которой на обеих картах совпадут.
44*. Существует ли неполное метрическое пространство, в котором верно утверждение задачи , а?
Подмножество метрического пространства называется всюду плотным , если его замыкание совпадает со всем пространством; нигде не плотным – если его замыкание не имеет непустых открытых подмножеств (сравните это определение с тем, которое было дано в приложениие 2).
45. а) Пусть a , b , a , b О Z и a < a < b < b . Докажите, что множество непрерывных функций на [a ,b ], монотонных на , нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a ,b ] c равномерной метрикой.
б) Пусть a
, b
, c
, e
О
Z
и a
< b
, c
> 0, e
> 0.
Тогда множество непрерывных функций на [a
,b
], таких что
|
46. (Обобщенная теорема Бэра .) Докажите, что полное метрическое пространство нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.
47. Докажите, что множество непрерывных, не монотонных ни на каком непустом интервале и нигде не дифференцируемых функций, определенных на отрезке , всюду плотно в пространстве всех непрерывных функций на с равномерной метрикой.
48*. Пусть f – дифференцируемая функция на отрезке . Докажите, что ее производная непрерывна на всюду плотном множестве точек. Это определение лебеговой меры ноль. Если счетное число интервалов заменить на конечное, то получится определение жордановой меры ноль.
Типы множеств вещественной прямой
Положение точки относительно множества A
Односторонние окрестности
Топология вещественной прямой
Числовые множества
Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).
Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.
Супремумом множества A, sup A называется …
… наименьшая из его мажорант;
… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;
Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).
Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)
1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.
Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.
2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.
3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).
Окрестности:
U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;
U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;
U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).
Проколотые окрестности:
Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}
Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = }