В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату - 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = - x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

• 0, если точка совпадает с началом координат;

• x A , если x A > 0 ;

• - x A , если x A < 0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B: A B = x B - x A .

Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A (x A , y A) и B (x B , y B) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B - y A , а, следовательно A B = A y B y = y B - y A .

Если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B - x A

Если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Преобразуем выражение:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

Точки совпадают;

Лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A (1 - 2) и B (11 + 2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .

Решение

1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 - 1 , A B = 10 + 2 2

Пример 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A (1 , - 1) и B (λ + 1 , 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .

Пример 3

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A (1 , 2 , 3) и B - 7 , - 2 , 4 .

Решение

Для решения задачи используем формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Ответ: | А В | = 9

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В математике как алгебра, так и геометрия ставят задачи по нахождению расстояния до точки или прямой от заданного объекта. Оно находится совершенно разными способами, выбор которых зависит от исходных данных. Рассмотрим, как найти расстояние между заданными объектами в разных условиях.

На начальном этапе освоения математической науки учат, как пользоваться элементарными инструментами (такими, как линейка, транспортир, циркуль, треугольник и другие). Найти расстояние между точками или прямыми при их помощи совсем несложно. Достаточно приложить шкалу делений и записать ответ. Стоит лишь знать, что расстояние будет равным длине прямой, которую можно провести между точками, а в случае с параллельными линиями - перпендикуляру между ними.

Использование теорем и аксиом геометрии

В учатся измерять расстояние без помощи специальных приспособлений или Для этого нужны многочисленные теоремы, аксиомы и их доказательства. Зачастую задачи о том, как найти расстояние, сводятся к образованию и поиску его сторон. Для решения таких задач достаточно знать теорему Пифагора, свойства треугольников и способы их преобразования.

Если есть две точки и задано их положение на координатной оси, то как найти расстояние от одной до другой? Решение будет включать несколько этапов:

1. Соединяем точки прямой, длина которой и будет являться расстоянием между ними.
2. Находим разность значений координат точек (к;р) каждой оси: |к 1 - к 2 |= д 1 и |р 1 - р 2 |= д 2 (значения берем по модулю, т.к. расстояние не может быть отрицательным).
3. После этого возводим получившиеся числа в квадрат и находим их сумму: д 1 2 + д 2 2
4. Заключительным этапом будет извлечение из получившегося числа. Это и будет расстоянием между точками: д=V (д 1 2 + д 2 2).

В итоге все решение осуществляется по одной формуле, где расстояние равно квадратному корню от суммы квадратов разности координат:

д =V(|к 1 - к 2 | 2 +|р 1 - р 2 | 2)

Если возникнет вопрос о том, как найти расстояние от одной точки до другой в то поиск ответа на него не будет особо отличаться от приведенного выше. Решение будет осуществляться по следующей формуле:

д=V(|к 1 - к 2 | 2 +|р 1 - р 2 | 2 +|е 1 - е 2 | 2)

Перпендикуляр, проведенный из любой точки, лежащей на одной прямой, к параллели, и будет расстоянием. При решении задач в плоскости необходимо найти координаты любой точки одной из прямых. А затем вычислить расстояние от нее до второй прямой. Для этого приводим их к общему вида Ах+Ву+С=0. Из свойств параллельных прямых известно, что их коэффициенты А и В будут равны. В таком случае найти можно по формуле:

д = |C 1 - C 2 |/V(A 2 + B 2)

Таким образом, при ответе на вопрос о том, как найти расстояние от заданного объекта, необходимо руководствоваться условием задачи и предоставляемыми инструментами ее решения. Ими могут быть как измерительные приспособления, так и теоремы и формулы.

Расстояние от точки до точки - это длина отрезка, соединяющего эти точки, в заданном масштабе. Таким образом, когда речь идет об измерении расстояния, то требуется знать масштаб (единицу длины), в котором будут проводиться измерения. Поэтому, задачу нахождения расстояния от точки до точки обычно рассматривают либо на координатной прямой, либо в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Другими словами, наиболее часто приходится вычислять расстояние между точками по их координатам.

В этой статье мы, во-первых, напомним, как определяется расстояние от точки до точки на координатной прямой. Далее получим формулы для вычисления расстояния между двумя точками плоскости или пространства по заданным координатам. В заключении, подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой.

Давайте для начала определимся с обозначениями. Расстояние от точки А до точки В будем обозначать как .

Отсюда можно заключить, что расстояние от точки А с координатой до точки В с координатой равно модулю разности координат , то есть, при любом расположении точек на координатной прямой.

Расстояние от точки до точки на плоскости, формула.

Получим формулу для вычисления расстояния между точками и , заданными в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

В зависимости от расположения точек А и В возможны следующие варианты.

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю.

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс, то точки и совпадают, а расстояние равно расстоянию . В предыдущем пункте мы выяснили, что расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому, . Следовательно, .

Аналогично, если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат, то расстояние от точки А до точки В находится как .

В этом случае треугольник АВС – прямоугольный по построению, причем и . По теореме Пифагора мы можем записать равенство , откуда .

Обобщим все полученные результаты: расстояние от точки до точки на плоскости находится через координаты точек по формуле .

Полученную формулу для нахождения расстояния между точками, можно использовать когда точки А и В совпадают или лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Действительно, если А и В совпадают, то . Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ох , то . Если А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Оу , то .

Расстояние между точками в пространстве, формула.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz в пространстве. Получим формулу для нахождения расстояния от точки до точки .

В общем случае, точки А и В не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные координатным осям Ох , Оу и Oz . Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями дадут нам проекции точек А и В на эти оси. Обозначим проекции .

Искомое расстояние между точками А и В представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке. По построению, измерения этого параллелепипеда равны и . В курсе геометрии средней школы было доказано, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, поэтому, . Опираясь на информацию первого раздела этой статьи, мы можем записать следующие равенства , следовательно,

откуда получаем формулу для нахождения расстояния между точками в пространстве .

Эта формула также справедлива, если точки А и В

• совпадают;
• принадлежат одной из координатных осей или прямой, параллельной одной из координатных осей;
• принадлежат одной из координатных плоскостей или плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Нахождение расстояния от точки до точки, примеры и решения.

Итак, мы получили формулы для нахождения расстояния между двумя точками координатной прямой, плоскости и трехмерного пространства. Пришло время рассмотреть решения характерных примеров.

Число задач, при решении которых конечным этапом является нахождение расстояния между двумя точками по их координатам, поистине огромно. Полный обзор таких примеров выходит за рамки данной статьи. Здесь мы ограничимся примерами, в которых известны координаты двух точек и требуется вычислить расстояние между ними.

Расстояние между точками на координатной прямой - 6 класс.

Формула нахождения расстояния между точками на координатной прямой

Алгоритм нахождения координаты точки - середины отрезка

Спасибо коллегам по интернету, чей материал использовала в данной презентации!

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Расстояние между точками на координатной прямой х 0 1 А В АВ = ρ (А, В)

Расстояние между точками на координатной прямой Цель урока: - Найти способ (формулу, правило) для нахождения расстояния между точками на координатной прямой. - Научиться находить расстояние между точками н а координатной прямой, используя найденное правило.

1. Устный счет 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2 . Устно решите задание с помощью координатной прямой: сколько целых чисел заключено между числами: а) – 8,9 и 2 б) – 10,4 и – 3,7 в) – 1,2 и 4,6? а) 10 б) 8 в) 6

0 1 2 7 п оложительные числа -1 -5 о трицательные числа Расстояние от дома до стадиона 6 Расстояние от дома до школы 6 Координатная прямая

0 1 2 7 -1 -5 Расстояние от стадиона до дома 6 Расстояние от школы до дома 6 Нахождение расстояния между точками на координатной прямой ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Расстояние между точками будем обозначать буквой ρ (ро)

0 1 2 7 -1 -5 Расстояние от стадиона до дома 6 Расстояние от школы до дома 6 Нахождение расстояния между точками на координатной прямой ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) = ? | a-b |

Расстояние между точками a и b равно модулю разности координат этих точек. ρ (a; b)= | a-b | Расстояние между точками на координатной прямой

Геометрический смысл модуля действительного числа a b a a=b b x x x Расстояние между двумя точками

0 1 2 7 -1 -5 На йдите расстояния между точками на координатной прямой - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7)= ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 На йдите расстояния между точками на координатной прямой - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0)= ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Вывод: значения выражений | a – b | и | b – a | равны при любых значениях а и b =

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Расстояние между точками координатной прямой

Найдите ρ(х; у) , если: 1) x = – 14, у = – 23; ρ(х; у)=| х – у |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5,9 , у = –6,8; ρ(х; у)=|5, 9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12,7 |=12,7

Продолжить предложение 1. Координатная прямая – это прямая с указанными на ней … 2. Расстояние между двумя точками - это … 3. Противоположные числа – это числа, … 4. Модулем числа Х называют … 5. - Сравните значения выражений a – b V b – a сделайте вывод … - Сравните значения выражений | a – b | V | b – a | c делайте вывод …

Винтик и Шпунтик идут по координатному лучу. Винтик находится в точке В(236), Шпунтик – в точке Ш(193) На каком расстоянии друг от друга находятся Винтик и Шпунтик? ρ (B, Ш) = 43

Найдите расстояние между точками А(0), В(1) А(2), В(5) А(0), В (- 3) А(- 10), В(1) АВ = 1 АВ = 3 АВ = 3 АВ = 11

Найдите расстояние между точками А(- 3,5), В(1,4) К(1,8), В(4,3) А(- 10), С(3)

Проверка АВ = КВ = АС =

С(– 5) С(– 3) Найдите координату точки - середины отрезка ВА

На координатной прямой отмечены точки А (–3,25) и В (2,65). Найдите координату точки О – середины отрезка АВ. Решение: 1) ρ(А;В)= |–3,25 – 2,65| = |–5,9| = 5,9 2) 5,9: 2 = 2,95 3) –3,25 + 2,95 = – 0,3 или 2,65 – 2,95 = – 0,3 Ответ: О(–0,3)

На координатной прямой отмечены точки С(– 5,17) и D(2,33). Найдите координату точки А – середины отрезка CD. Решение: 1) ρ(С; D)= |– 5 , 17 – 2, 33 | = |– 7 , 5 | = 7 , 5 2) 7 , 5: 2 = 3 , 7 5 3) – 5 , 17 + 3 , 7 5 = – 1 , 42 или 2, 33 – 3 , 7 5 = – 1 , 42 Ответ: A (– 1 , 42)

Вывод: Алгоритм нахождения координаты точки – середины данного отрезка: 1. Найти расстояние между точками – концами данного отрезка = 2. Разделить результат-1 на 2 (половина величины) = с 3. Прибавить результат-2 к координате а или вычесть результат-2 из координаты а + с или - с 4. Результат-3 есть координата точки - середины данного отрезка

Работа с учебником: §19, с.112, А. № 573, 575 В. № 578, 580 Домашнее задание: §19, с.112, А. № 574, 576, В. № 579, 581 подготовиться к КР «Сложение и вычитание рациональных чисел. Расстояние между точками на координатной прямой»

Сегодня я узнал… Было интересно… Я понял, что… Теперь я могу… Я научился… У меня получилось… Я попробую… Меня удивило… Мне захотелось…