Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник. Например, такой, как показан на рисунке 1.
Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты. Использованный мною способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников.
Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный -- любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница -- связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь). Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:
Теорема Пика. Пусть -- число целочисленных точек внутри многоугольника, -- количество целочисленных точек на его границе, -- его площадь. Тогда справедлива формула Пика :
Пример. Для многоугольника на рисунке 1 (желтые точки), (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому квадратных единиц.
Доказательство теоремы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем и
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и. Имеем в этом случае и, по формуле Пика,
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для этого случая и получаем, что
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки 2 и 3). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.
Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.
Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением. Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим
Число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,
Число граничных точек нового многоугольника.
Из этих равенств получаем
Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то
Тем самым, формула Пика доказана.
Эту формулу открыл австрийский математик Пик Георг Александров (1859 - 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика - Жюлиа, Пика - Невалины, доказал неравенство Шварца - Пика. В Приложении 1 можно увидеть рассмотренные мною нестандартные задачи на применение формулы Пика.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Руководители:
- Могутова Татьяна Михайловна
- Дерюшкина Оксана Валерьевна
Девиз проекта:
“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”.
Д. Пойя.
Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на “клеточках” очень интересная тема.
Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др.
Нас очень заинтересовала эта тема, мы изучили много литературы и к нашей огромной радости нашли еще один способ, способ не известный по школьной программе, но способ замечательный! Вычисление площади, используя формулу, выведенную австрийским ученым – математиком Георгом Пиком.
Мы решили изучить формулу Пика, при помощи которой выполнять задания на нахождении площади очень легко!
Цель исследования
1. Изучение формулы Пика.
2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.
Задачи:
1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
2. Проанализировать и систематизировать полученную информацию
3. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
4. Сделать выводы по результатам работы.
5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.
Методы исследования:
1. Моделирование
2. Построение
3. Анализ и классификация информации
4. Сравнение, обобщение
5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов
Георг Пик – австрийский ученый – математик. Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала.
Широко известная Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899 году.
Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.
Формула Пика, формула вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ. Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала.
Формула Пика - классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.
По теореме Пика площадь многоугольника равна:
Г: 2 + В – 1
Г – число узлов решетки на границе многоугольника
В – число узлов решетки внутри многоугольника.
Первым делом мы поставили задачу: изучить, что такое узлы решетки и как правильно вычислять их количество. Оказалось, это очень просто. Приведем несколько примеров.
Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать их количество очень легко.
В данном случае Г= 15, В = 35
Пример №2 Узлов на границе 18, т.е. Г = 18, узлов внутри 20, В = 20.
И еще один пример. Дан произвольный многоугольник. Считаем узлы на границе. Их 14. Узлом внутри многоугольника 43. Г = 14, В = 43.
С первой задачей мы справились!
Второй этап нашей работы: вычисление площадей многоугольников.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример №1.
Г = 14, В = 43, S = + 43 – 1 = 49
Пример №2.
Г = 11, В = 5, S = + 5 – 1 = 9,5
Пример №3.
Г = 15, В = 22, S = + 22 – 1 = 28,5
Пример №4.
Г = 8, В = 16, S = + 16 – 1 = 19
Пример №5
Г = 10, В = 30, S = + 30 – 1 = 34
На рассмотрение пяти примеров мы затратили всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!
Но перед нами встал очень серьезный вопрос:
Можно ли доверять теореме Пика?
Получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?
Найдем площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Вот какие результаты мы получили:
Пример №1.
Вычислим площадь многоугольника по формуле Пика:
Подсчитаем количество узлов на границе и внутри. Г = 3, В = 6.
Вычислим площадь: S = 6 + - 1 = 6,5
Достроим многоугольник до прямоугольника. Площадь прямоугольника равна: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5
S = 15-3-3-2,5 = 6,5
Результат одинаковый.
Пример №2.
Г = 4, В = 9, S = 9 + - 1 = 10
Достроим до прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 3,
S = = 2 , S = = 1,5, S = = 2,5
Площадь прямоугольника равна
S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10
Мы снова получили одинаковые результаты.
Рассмотрим еще один пример.
Пример №3
Вычислим площадь по формуле Пика.
Г = 5, В = 6, S = 6 + - 1 = 7,5
Вычислим площадь, используя способ достроения.
Площадь прямоугольника равна 5·4 = 20
S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2,5
S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5
Результат одинаковый.
В презентации мы рассмотрели три примера, но на самом деле мы рассмотрели очень много самых разных примеров. Результат всегда был один и тот же: Вычисление площади по формуле Пика и другими способами дает одинаковый результат.
Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает точный результат.
Мы довольны!
И еще один вопрос встал перед нами: какой способ вычисления наиболее рациональный, наиболее удобный для использования?
Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно использовать всю предыдущую работу. Но рассмотрим еще три примера, которые окончательно позволят получить ответ на наш вопрос.
Пример №2
Пример №3
При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы. Рассмотрим пример:
Вывод однозначный: наиболее рациональный способ вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!
Предлагаем каждому из вас вычислить площадь многоугольника, используя формулу Пика:
Вычислите количество узлов на границе. Они изображены желтым цветом.
Вычислите количество узлов внутри, красный цвет.
Подставьте в формулу, назовите результат. Вы за одну минуту вычислили площадь.
Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:
Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:
S = Г:2 + В - 1.
Формула Пика очень проста для запоминания.
Формула Пика очень удобна и проста в применении.
Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.
Применяя формулу Пика легко выполнять задание ЕГЭ и ОГЭ.
Приведем несколько примеров вычисления площади из вариантов ЕГЭ – 2015.
Мы решили научить пользоваться формулой Пика учащихся 9 – 11 классов нашей школы. Провели фестиваль “Формула Пика”.
Все учащиеся с большим интересом познакомились с презентацией, научились пользоваться формулой Пика.
За 30 минут практической работы учащиеся выполнили большое количество заданий. Каждый учащийся получил памятку “Формула Пика”.
Мы помогли им в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ!
Спустя месяц работы, мы провели опрос учащихся 9–11 классом.
Задали следующие вопросы:
Вопрос №1:
Формула Пика – это рациональный способ вычисления площади многоугольника?
“Да” - 100% учащихся.
Вопрос №2:
Вы пользуетесь формулой Пика?
“Да” – 100% учащихся
Наша работа не прошла даром! Мы довольны!
Презентацию нашего проекта мы разместили в сети Интернет. Много просмотров и скачиваний нашей работы.
Мы оформили альбом “Формула Пика”. Им постоянно, особенно первое время, пользовались учащиеся нашей школы.
Результаты работы над проектом:
В процессе работы над проектом изучили справочную, научно-популярную литературу по теме исследования.
- Изучили теорему Пика, научились находить площади фигур, изображенных на бумаге в клетку просто и рационально.
- Расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.
- Провели для учащихся 9–11 фестиваль “Формула Пика”, научили их находить площадь, использую эту формулу. Подобрали много интересных примеров.
- Создали электронную презентацию в помощь своим ровесникам.
- Оформили альбом “Формула Пика”, который постоянно используют учащиеся школы.
Предлагает вам выполнить два задания, чтобы вы убедились в рациональности нашей работы.
Спасибо за внимания!
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Выполнила ученица МОУ СОШ №7 8 «А» класса Юношева Ксения Преподаватель: Бабина Наталья Алексеевна г. Сальск 2011 год «Формула Пика»
Цели работы: Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника. Области применения искомой формулы.
Введение. Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение. Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения каких-либо задач. Например, просматривая результаты ЕГЭ 2010 года видно, что многие ученики теряют баллы из-за задания В6. Я задалась целью, как же можно сэкономить время и правильно решить это задание.
Задание В6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см изображены фигуры(см. рисунок). Найдите их площади в квадратных сантиметрах.
Итак, чтобы все-таки решить это задание мне нужно применить формулы нахождения площади, которые мы изучаем в 8классе.Но на это уйдет очень много времени, а мне нужно ответить на поставленный вопрос как можно быстрее, ведь время на экзамене строго ограниченно. Поэтому, проведя исследования, я выяснила, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.
Историческая справка. Георг Александр Пик (10 августа, 1859 - 26 июля 1942) был австрийским математиком. Он умер в концлагере Терезин. Сегодня он известен из-за формулы Пика для определения площади решетки полигонов. Он опубликовал свою формулу в статье в 1899 году, она стала популярной, когда Хьюго Штейнгауз включил её в 1969 году в издание математических снимков. Пик учился в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско-Фердинандском университете в Праге. Он стал преподавателем там в 1881 году. Взяв отпуск в университете в 1884 году, стал работать с Феликсом Клейном в Лейпцигском университете. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а за тем вернулся в Вену. Пик возглавлял комитет в(тогда) немецком университете Праги, который назначил Альберта Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году. Пик был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги. После ухода на пенсию в 1927 году, Пик вернулся в Вену, город, где он родился. После аншлюса, когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, Пик вернулся в Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. Георг был отправлен в концентрационный лагерь Терезин 13 июля 1942. Он умер через две недели.
Теорема Пика. Теорема Пика - классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна сумме В + Г/2 – 1, где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Доказате льст во теоремы Пика. Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны 1/2, а, следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т. Чтобы найти это число, обозначим через п число сторон многоугольника, через i - число узлов внутри его и через b - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна πТ. Теперь найдём эту сумму другим способом. Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2 π , т. е. общая сумма таких углов равна 2 π i ; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (b – n) π , а сумма углов при вершинах многоугольника - (п – 2) π . Таким образом, π Т = 2i π + (b – n) π + (n – 2) π , откуда получаем выражение для площади S многоугольника, известное как формула Пика. Например, на рисунке b = 9, i = 24, а следовательно, площадь многоугольника равна 27,5.
Применение. Итак, вернемся к заданию В6. Теперь, зная новую формулы, мы легко сможем найти площадь этого четырехугольника. Так как В – 5; Г – 14, то 5+14:2-1=11 (см в квадрате) Площадь данного четырехугольника равна 11 см в квадрате.
По той же формуле мы можем найти площадь треугольника. Так как В-14, Г-10,то 14+10:2-1=18 (см в квадрате) Площадь данного треугольника равна 18 см в квадрате.
Если В-9, Г-12, тогда: 9+12:2-1=14 (см в квадрате) Площадь данного четырехугольника равна 14 см в квадрате.
Области применения формулы. Помимо того, что формула применяется в различного рода экзаменах, заданиях и так далее, она сопровождает весь окружающий нас мир.
По формуле Пика S =В + ½ Г-1 1)туловище В=9,Г=26, S=9+½·26-1=9+13-1= 21 2) хвост В=0,Г=8, S= 0 +½· 8 -1= 3 3) S= 21+3=24
По формуле Пика S =В + ½ Г-1 В=36, Г=21 S = 36 + ½· 21 -1=36+10,5-1=45,5
Заключение. В итоге, я пришла к выводу, что существует много различных способов решения задач на нахождение площади, не изучаемых в школьной программе, и показала их на примере формулы Пика.
Справочник. Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат). Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.
Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема . На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач - и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!
Для начала введем новое определение:
Узел координатной стеки - это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.
Обозначение:
На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.
Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:
Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:
где n - число узлов внутри данного многоугольника, k - число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).
В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.
На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно n = 10. На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.
Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа n и k . Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.
С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника - замкнутая ломаная , которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.
Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются три линии :
- Собственно, ломаная;
- Горизонтальная линия координатной сетки;
- Вертикальная линия.
Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.
Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:
Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:
Получается, что внутренний узел всего один: n = 1. Граничных узлов - целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника , а еще три лежат на сторонах. Итого k = 6.
Теперь считаем площадь по формуле:
Вот и все! Задача решена.
Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего n = 2. Граничных узлов: k = 7, из которых 4 являются вершинами четырехугольника , а еще 3 лежат на сторонах.
Остается подставить числа n и k в формулу площади:
Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.
Важное замечание по площадям
Но формула - это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю . Получим:
Числа n и k - это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:
Площадь всегда выражается целым числом или дробью . Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.
Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью вида ***,5. Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!
Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).
Теорема Пика
Формула
Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.
Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через .
Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика :
В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин.
Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.
Доказательство
Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:
Обобщение на высшие размерности
К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.
Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива ) со следующими вершинами:
где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки , , , и никакие другие. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.
Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта (Ehrhart Polynomial), но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.