или очень полезный отзыв

Здравствуйте!
Не так давно закончилась бонусная сессия блиц-аудита, и сегодня у нас будет отзыв от его участницы. Отзыв очень интересный, крайне полезный, и написан просто замечательно. Читайте.

"Здравствуйте, Виталий!
Отзыв вышел очень длинным, но уж какой есть. Мне хотелось обобщить впечатления по трём аудитам. Я проходила у Вас блиц-аудит три раза в течение полутора лет. И убедилась, что это может быть очень хорошим вариантом. Такая “точечная” работа с интервалами здорово помогает, когда в жизни наступает переломный период. Когда речь идёт не об одной какой-то проблеме, а о целом пучке проблем. Он обычно собирается где-то к середине жизни: “не та” работа, “не тот” спутник жизни, “не тот” круг общения, – и так до бесконечности... А инерции, страха ошибиться и ложных представлений о себе накапливается за предыдущие годы столько, что всё это придавливает к земле, как могильная плита. И очень тяжело её с себя сбросить, – особенно в одиночестве, когда никто тебя в желании перемен не поддерживает и даже не понимает, что с тобой происходит. Ведь к жизненному кризису человек обычно приходит в одиночестве... Я бы даже сказала, что кризис с того и начинается, что человек ОТКРЫВАЕТ, наконец, своё одиночество среди тех, с кем он привык жить. И убеждается, что заткнуть эту дыру одиночества, сидя на прежнем месте, – нереально... И что никто и ничто ему в этом не поможет.

Поэтому одним блиц-аудитом довольно сложно разгрести весь этот воз. А курсы в таком случае могут не слишком-то помочь из-за того, что человек еще не готов, задавлен наплывом проблем и ощущением, что он с ними никогда не справиться. В результате все три блиц-аудита оказались для меня совершенно разными – и с разными последствиями... А в итоге сложились в одно целое. К моменту первого аудита у меня были трудности с работой. Она меня не устраивала, и не было никаких шансов найти лучшую. На аудите я пыталась обсуждать с Вами целую кучу посторонних вопросов, своих идей, представлений и пр. Но Вы всякий раз отсекали мою очередную попытку повести Вас по “ложному следу”. И у меня появился опыт реального контакта с собой – с тем, что глубже говорения слов, стереотипов и идей о том, “как должно быть”, которыми я нашпигована.

Казалось бы в первые недели после аудита не изменилось ничего, кроме моего самоощущения... Изменилась лишь я сама – немного (для начала). Стала больше слушать свои чувства и меньше доверять словам. И когда через месяц после этого я вылетела с неустраивающей меня работы (потому что закрыли саму фирму), я обрадовалась. Сказала себе: “Теперь я буду искать СВОЁ” (подтвердив это отказом от парочки “не тех”, “не моих” предложений). Еще через пару месяцев я нашла работу, о которой не могла и мечтать. И довольно скоро убедилась, что ничего лучшего мне и не нужно. Это – моё. Хотя попасть на такую работу из положения, в котором я тогда находилась, очень сложно. И невозможно объяснить логически, как произошло такое чудо... Я просто “плыла по течению” – доверяла движению обстоятельств, отключив всякую логику. Решалась на неожиданные шаги, и они, как тропинка из леса, чётко вывели туда, куда нужно.

Второй аудит был труднее. Он оказался самым коротким – однодневным. Именно в ходе второго аудита я прочувствовала максимально глубокое одиночество, когда кажется, что мне не может помочь никто – даже Вы. Отчасти причина была в том, что одного дня – мало. Проблема прояснилась, но это вызвало шок. А что с ним делать, как быть – мне было не ясно. И времени на проработку уже не осталось. Возникло ощущение, что я никогда не выйду из тупика, в котором оказалась. Через пару месяцев я поняла, что это и было главной ценностью того однодневного аудита. Ведь если бы я тогда не испытала шок, то так и продолжала бы считать, что когда-нибудь “всё будет хорошо”. Надеяться на будущее, когда обстоятельства изменятся к лучшему, на других людей и пр. А тут я никак не могла выйти из состояния “перевёрнутости”, полученного на аудите... Ну, как поезд, сошедший с рельсов. Всё, он уже не может катить вперёд по своей наезженной колее. Что-то сломалось в привычном механизме приспособления.

И тогда я поняла, что мне нужен ещё один аудит. Поначалу, правда, я долго сомневалась. Перечитала заново почти все Ваши статьи с сайта, потом нашу переписку от двух аудитов. Головой, казалось бы, всё понимаю, со всем соглашаюсь, что Вы говорите, но чего-то не хватает. К тому моменту главной темой для меня стала встреча со своей парой. И даже был человек, в котором я ощущала и видела пару. Но он сам не готов был признать нашу встречу, – ведь тогда ему пришлось бы менять всю свою устоявшуюся жизнь. Когда я начала обсуждать на третьем аудите эту ситуацию, появилась ясность. А как только приходит ясность, уже не можешь себя обманывать. И я смогла почти сразу поговорить с тем человеком так, как давно того хотела (а раньше не решалась этого сделать несколько месяцев). Результат поначалу меня шокировал... Меня как будто отбросило далеко от моей мечты. Оказалось, что тот мужчина действительно не готов ко встрече и боится признать, что она случилась.

В первые дни после нашего разговора я чувствовала себя как петух с отрубленной головой, который бегает по двору по инерции, совсем ничего не соображая. Я так и жила – вроде бы ходила, что-то делала... Но у меня полностью земля ушла из-под ног. Вся моя “картина мира” на тот момент рухнула. Потому что, несмотря на сложности нашего общения, мои ощущения, мои чувства, мои желания, моя интуиция – всё говорило мне о том, что это МОЙ человек. Однако по фактам всё вроде бы складывалось “наоборот”. И он сам предпочёл отойти на дистанцию. И Вы, Виталий, справедливо видели в его поведении негатив и слабость, которые я сама не хотела признавать.

Я поняла благодаря аудиту, что могу отвергнуть не сами эти отношения, а всё то, что не принимаю в них. Могу прямо проявлять свои чувства и добиваться уважения к ним. Могу уходить из ситуаций, которые мне не нравятся, но не из отношений в целом. И с каждым шагом я переставала ощущать себя “жертвой”, которая только сидит и ждет чьей-то милости (например, того человека), или ждёт, когда кто-то решит за неё.

Но вот что важно: я всё время шла через кризис. Получилось так, что весь негатив, заложенный в дорогих мне отношениях, Вы показали словно под лупой. Я увидела его очень ярко, неотразимо. И от этого мне стало очень плохо. А дальше... В этом письме я себя всё время с чем-то сравниваю, чтобы передать состояние... Дальше было похоже на то, как змея меняет кожу. Старая шелуха сходит, как изношенный чулок. А под ней – новое, живое, дышащее существо. В какой-то момент я потеряла почти всё: ощущение, что я нашла главное в своей жизни – пару; веру в перемены и в свою способность их порождать; надежду на помощь со стороны других людей (Вашу, в частности). И дойдя до этой “точки ноль” в ходе последнего аудита, в самый безнадёжный момент, я наконец-то открыла СЕБЯ – под слоем надежд, иллюзий, ожиданий. Себя как человека, который хочет, чувствует и способен опираться на желание вопреки всему – вопреки страху, здравому смыслу, чужому авторитету. А открыла я себя потому, что в “точке ноль” мне ничего другого просто не оставалось. Не за что было ухватиться...

Вот ещё на что похоже: на рождение младенца, когда он выходит из утробы и у него открываются лёгкие. Потому что когда начинаешь жить, опираясь на чувства и желания, то переходишь в другой режим существования. Внутри начинает работать новый орган восприятия, который опознаёт желания/чувства и реагирует на поток жизненной энергии. И чем больше места в себе даёшь этому потоку, тем он сильнее, ярче.

Могут сказать: да что же изменилось? Встреча с парой – в подвешенном состоянии. Так и осталось до конца непонятно – то ли это. Реальных сдвигов в жизни пока нет. Возможно, и так (хотя прошло ещё слишком мало времени после аудита). И вместе с тем – изменилось ВСЁ, потому что изменилась я сама. Например, раньше меня очень мучила зависть. Она мешала мне принимать любовь от других людей, потому что я всё время себя с кем-то сравнивала и считала “недостойной”. И вдруг через несколько дней после аудита я заметила, что привычная зависть куда-то испарилась. Мне стало просто НЕКОГДА ею заниматься. Когда начинаешь слышать и чувствовать себя, возникает состояние наполненности энергией, которое ни с чем не сравнимо. Зависть приходит от пустоты, а пустота – от глазения по сторонам. А когда возвращаешься внутрь себя, становится уже не до глазения на то, у кого что есть и кто что “имеет”… Слишком интересно становится с самим собой и интересно БЫТЬ СОБОЙ, из-за чего попросту перестаёшь западать на чужое. Я впервые за много лет почувствовала, что мне НРАВИТСЯ быть собой – такой, какая я есть.

Вот только одно мне хотелось бы подчеркнуть для тех, кто почувствует себя в кризисе в ходе блиц-аудита. На этом пути перерождения неизбежно встречается “точка ноль”. Это – период, когда сходит старая “кожа” и когда лёгкие еще не открылись (вспоминая младенца). В таком состоянии кажется, что “всё кончено”, “всё развалилось”, “потерял то, что имел, а нового не приобрёл”, опереться не на что и пр. И тут я посоветовала бы вот что: ежедневно обращать внимание на самые маленькие ПОЗИТИВНЫЕ сдвиги. Например, по моей проблеме с парой в первые дни и даже недели ничего не сдвинулось, но зато в массе других ситуаций, казалось бы, посторонних, вдруг одно за другим многое стало “складываться” и “получаться”... И по этому ручейку малюсеньких, но стабильных удач и приятных совпадений, я почувствовала поддержку со стороны жизни. Сразу ослабло ощущение одиночества. А уже через несколько дней ручеёк стал набирать силу и расширяться...

И второе. Я бы всё-таки посоветовала Вашим клиентам в кризисные моменты снова и снова перечитывать статьи, выложенные на сайте. В них не просто воплощен живой и убедительный опыт. Важно ещё то, что они отражают разные грани этого пути перерождения в живое существо. В самые трудные минуты я заходила к Вам на сайт и методом “тыка”, чисто по интуиции выбирала какую-нибудь статью. И, как правило, находила там ответ именно на тот вопрос, который возникал у меня в том состоянии. А с другой стороны, я попадала в поле Ваших размышлений и чувств, и у меня от этого тоже ослабевало, уходило чувство одиночества. Да и статья у Вас такая есть – “Никто не идёт в одиночку” :). Главное – суметь это увидеть, понять, что любовь и поддержка для нас воплощены не только в конкретном человеке – паре, но и растворены во множестве событий, в чудесных совпадениях и перекличках, в том, как жизнь идёт навстречу малейшему нашему желанию.

И я рада, что открыла всё это для себя еще ДО ТОГО, как в моей жизни случились реальные большие перемены. Мне бы не хотелось зависеть от внешних причин – типа “случится то, что я задумала, значит, оживу; а нет – так и останусь в состоянии комы (в ожидании “лучшей жизни” и пр.). Не хочу ставить жизни условия, а себя измерять “обстоятельствами”. Ощутить в себе, во всём своём существе пульс жизни – важнее всего... Потому что тогда в тебя входит любовь, которой НИКТО не сможет тебя лишить, – даже человек, так и не понявший зачем и ради чего он с тобой встретился.

Виталий, ещё раз спасибо Вам за всё!
Если решите использовать отзыв в рассылке, можно опубликовать его целиком – или по частям. Ничего “секретного” в нём нет. О личном я постаралась сказать обобщённо.
Пока-пока. Надеюсь, что до новых встреч:)"

В этом письме много сильных моментов. Эту фразу: "Я впервые за много лет почувствовала, что мне НРАВИТСЯ быть собой – такой, какая я есть " - выделил я. Потому что трудно передать, как это важно. Тот, кто этого не ИСПЫТАЛ, не поймет даже о чем речь, хоть вам и кажется сейчас, что смысл всех слов вам понятен. Меня очень трогает сила чувств, которые испытывала автор письма в течение и после нашей работы. Я очень рад тем открытиям, которые она совершила. И все, что она хочет, она получит, я в этом уверен.
Она-то получит, а вы?

Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство)()(0 xfxf

Точка х 1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 1 выполняется неравенство)()(1 xfxf Значения функции в точках х 0 и х 1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции.

На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции. Если в некоторой точке хх 00 дифференцируемая функция f(xf(x)) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю: 0)(0 xf

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема. Например, функцияxy имеет минимум в точке 0 x но она в этой точке не дифференцируема.

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х 0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Т. об. , если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической. Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Применим необходимое условие экстремума: xxy 2)(2 002 xприxy 0 0 y x — критическая точка

Применим необходимое условие экстремума: 23 3)1(xxy 003 2 xприxy 1 0 y x — критическая точка

Если при переходе через точку х 0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т. е. на некотором интервале 0 ; xa 0)(xf а на некотором интервале bx; 0 0)(xf Тогда функция y=f(x) будет возрастать на 0 ; xa

и будет убывать на bx; 0 По определению возрастающей функции 00 ;)()(xaxвсехдляxfxf Для убывающей функции bxxвсехдляxfxf;)()(00 0 x -точка максимума. Аналогично доказывается для минимума.

1 Найти производную функции)(xfy 2 Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки. 4 Найти экстремум функции.

Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx

3 Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки: x 4 1 1 y y В точке х=1 х=1 экстремума нет.

Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х 0 равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то х 0 есть точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то х 0 есть точка максимума.

Пусть 0)(0 xf следовательно 0)(0 xf и в некоторой окрестности точки х 00 , т. е. 0)()(xfxf

функцияba; будет возрастать на)(xf содержащем точку х 00. . Но Но 0)(0 xf на интервале 0 ; xa 0)(xf а на интервале bx; 0 0)(xf

Таким образом, функция при переходе через точку х 00 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума.)(xf Аналогично доказывается случай для максимума функции.

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на: 3 Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума. Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума. В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.

Я вышел из подъезда. Ключи в кармане, мысли – в голове, все правильно. Гниет небо высоко над антеннами, хитро скалится огрызок луны. Бездна, это просто бездна…

Направо, направо, мимо углов и холодных стен, по асфальту и мокрой, пропахшей травой земле. Наступило лето. Как, уже? Снова?

Значит, год…

Мимо угрюмых садов и иссохших заборов, скособоченных остроконечных крыш. Мимо потухших и еще освещенных окон, прячущих чужие жизни, мимо застывшей ночной тишины и собачьего лая – к Точке Ноль.

Год, ровно год… Ночь в ночь, час в час, правда? Ложь? Ответов не нужно, да их и не было никогда. Только пустота и жадные жирные звезды.

Крест. Покосившийся, деревянный крест у забора – в темноте они почти сливаются, едва различишь. Смутный, почти напоминающий человека, застывший силуэт.

Точка Ноль.

У меня был друг, и звали его… да не важно, как его звали, допустим, Джек. Жили мы на разных концах города, а умер он вот здесь – в двух минутах пути от моего дома.

Вот она, странная, пульсирующая линия, видите? Я еще не успел придумать ей имени. Она тянется издалека, по пустой и размытой дороге – и на самом деле это ось координат.

Я не знаю точно, как все случилось. Возможно, он просто плохо разбирался в здешних дорогах. Работающих фонарей у нас давно уже не осталось, и если луны нет, то ночью все вокруг сливается в одну сплошную черноту. Возможно, он был пьян – почему бы и нет, в конце концов? Возможно, просто не справился с управлением… дело не в этом.

Дело в изломанных, уродливых царапинах, которые покрывают забор в этом месте – от угла улицы и до креста. Долгих восемь шагов. Царапины уже потемнели, слились с фоном, словно зажившие шрамы – но я навсегда запомню их отвратительную, режущую глаз белизну наутро после…

Мотоцикл остался на ходу – и по сей день пылится в его гараже, страшный и молчаливый зверь. А вот вместо человека теперь две скрещенные доски.

Эта линия – ось координат, и крест в ней – точка отсчета. И в обе стороны от него отходит бытие, но с противоположными знаками.

Справа, там, где дорога, где он еще ничего не знал – жизнь

Одна минута до – две минуты до – три минуты до - …

Слева, там, где продолжается забор, где мрачно шелестят ветвями яблони – смерть

День без – неделя без – месяц без – год…

А в середине – Точка Ноль.

Я подошел поближе, и протянул руку к кресту. Когда-то на нем висела фотография, но потом ее сорвало ветром – и в этом месте на потемневшем дереве до сих пор остался светлый квадрат. Я коснулся его пальцами…

и пол закачался под моими ногами. Поезд. Ничего удивительного – мы с Джеком (да, пусть будет Джек) часто ездили на электричках. Пили в них пиво, пели песни, ругались с кондукторами и контролерами, иногда уступали места грузным пожилым дачницам.

Я был в тамбуре, и вокруг меня висел в воздухе синий сигаретный дым. Мелькала за окном чернота, и среди окурков в углу лежал, свернувшись калачиком, пьяный старик.

Толкнув дверь, я вошел в вагон – и, хотя народа было довольно много, сразу увидел Джека. Он сидел недалеко и смотрел на меня. Единственное свободное место находилось рядом с ним. Удивляясь своему равнодушию, я подошел и сел.

Джек молча пожал мне руку и, порывшись в большом черном пакете, протянул бутылку холодного пива.

– Как ты? – спросил я непонятно зачем.

Он пожал плечами:

– Ничего особенного.

Мы открыли пиво и несколько минут наслаждались его свежим, ледяным вкусом, не говоря ни слова. Потом Джек вдруг сказал:

– Привыкнуть можно ко всему…

– Ты мертв?

Он невесело усмехнулся:

– А сам как считаешь? Или так не похоже? Показать шов от вскрытия, расколотый череп и смятое в лепешку лицо?

– Нет, не нужно, я верю…

Он засмеялся и, допив остаток пива, полез в пакет за другой бутылкой:

– Я ж говорю, привыкнуть можно ко всему… на самом деле, бывают вещи и похуже…

– Например?

– Небытие…

– Ясно, – я тоже взял себе еще одну бутылку. Пиво попалось на удивление вкусное и крепкое – оно приятным теплом разливалось по телу и обкладывало сознание мягкой ватой. Хотелось перестать сомневаться в реальности происходящего и с легким сердцем наслаждаться поездкой и приятным обществом.

Джек несколько минут молчал, а потом вдруг снова засмеялся.

– Ты чего? – удивился я.

Он помотал головой:

– Говоришь, ясно? Да ни хрена тебе не ясно! Так ведь?

Мне не оставалось только кивнуть. Он довольно хмыкнул:

– Вот именно. Ты же не знаешь, что такое небытие…

Я пожал плечами:

– Более того, я не знаю даже, что такое бытие… а уж небытие…может, смерть?

Он широко улыбнулся, и мне на мгновение показалось, что его зубы стали гораздо острее, чем были год назад.

– Какая смерть? Ты же вроде додумался до оси координат!

– До какой оси?

– Ось координат! Ну, справа от креста жизнь, слева смерть…

Я кивнул:

– Ага, понял…

– Понял он… в том и дело, что додумался, а понять не понял ни хрена! Жизнь – это одна половина оси, а смерть – другая, противоположная. Они отличаются друг от друга только знаками. И там, и там – бытие. Смотри… допустим, я двадцать лет двигался по оси, по части со знаком плюс. А теперь я двигаюсь по той же оси – но уже по второй половине, со знаком минус. Я умер, но все равно существую! На небесах, страницах архивов или только в твоей грешной башке – не знаю, да это и не важно… я есть, понимаешь теперь?

– Кажется, да…

– Хорошо. А небытие тоже присутствует на оси, но только в одной точке…

Я знал, где.

– Точка Ноль?

– Именно. Ноль – это ноль, иначе и не скажешь. Там сходятся все плюсы и минусы, все единицы исчисления. Ничего, совсем ни хрена – там даже пустоты нет. Там нет самого существования – и поверь, это очень тяжело осмыслить.

– Представляю, – прошептал я.

– Нет, не представляешь, – прошептал в ответ Джек и осторожно поставил еще не допитую бутылку на пол. – Небытие невозможно представить. В нем можно лишь побывать…

Он повернулся ко мне, и из глаз его потекла кровь.

Я было отпрянул, но сумел вовремя взять себя в руки. Джек не собирался причинять мне вреда. Он просто смотрел на меня истекающими кровью глазами и улыбался жуткой волчьей улыбкой. Мы замолчали.

– Думаю, тебе нужно уйти, – сказал он через пару минут.

– Почему?

– Ну, билета у тебя нет, а сюда идет контролер…. Лучше ему не попадайся.

Я выглянул в проход. От дверей тамбура медленно двигался тот самый старик, которого я видел там спящим. Только теперь он был невероятно худой и такой высокий, что почти задевал головой потолок вагона. Длинные, спичечно-тонкие руки опирались на края сидений, густая седая борода свисала до пола.

– Как мне отсюда выбраться? – спросил я Джека.

Он развел руками:

– Как обычно выбираются из поезда? Через двери…

Я встал. Старик тут же уставился на меня и, забормотав что-то невнятное своим беззубым ртом, направился ко мне.

– Извините, – сказал я ему и побежал по проходу прочь. Старик рванулся следом. Он не кричал, не ругался, только шамкал что-то. Его тощие морщинистые руки замелькали в воздухе, задевая за стены и потолок – казалось, они могут изгибаться как угодно, будто щупальца. Холодные пальцы впились мне в плечо, я вырвался и выбежал в тамбур.

Здесь вился ледяной ночной ветер – обе двери были открыты. Я, не раздумывая, прыгнул в правую – и краем глаза еще успел увидеть, как из вагона в тамбур вваливается лавина тонких извивающихся рук…

Ехидно смеялась на небе разорванная луна, бесконечно перешептывались ветви яблонь. Я стоял на коленях перед деревянным крестом, совсем черным в темноте. Справа от него была чужая жизнь, слева – чужая смерть…

Точка Ноль. Точка Ничего. Начало и конец отсчета. Ни звезд, ни памяти, ни веры, ни красоты, ни зла. Центр мира. Здесь сходятся все пути, и исчезает сама пустота. Небытие.

Скоро ночь кончится, и вокруг снова забегают спешащие куда-то люди, даже не подозревая, мимо чего они проходят. Все будет как раньше, все будет, как надо. Люди будут идти – по своим собственным осям, спеша к своим собственным нолям. Однажды они купят билет и предъявят его многорукому контролеру. Да будет так.

Я поднялся и пошел домой. Хотелось спать и курить.

Пива не хотелось.

Говоря метафорически, точка ноля – это момент, когда путник стоит посередине перекрёстка из тысячи дорог, и ему всё равно, куда идти. Любой выбор равнозначен для эго . Как правило, в такой момент эго полностью отключается от невозможности контролировать реальность, совершать выбор и принимать осмысленные решения. И тогда в процесс выбора включается что-то другое – Другое Я , душа, Дух – можно придумать сотни названий того, что невозможно описать словами.

Точка ноля – это, безусловно, кризис – духовный и личностный. Достижению этого момента предшествует нарастающее напряжение, замешательство, огромная скорость личностных изменений... Жизнь представляется огромным водоворотом, который всё ускоряется и ускоряется. Становится невыносимо всё это выдерживать, вопросы типа «Зачем мне всё это?» , «Моё ли это?» , «Это и есть моя жизнь?» , «А кто я, собственно, есть?» – становятся нормальным средством общения с самим собой...

Из этого водоворота есть два пути – в точку страдания или в точку ноля .

В точке страдания человек оказывается тогда, когда жалеет себя, стыдится себя, потакает собственному замешательству... Но главное – хочет сознательно или неосознанно остановить этот водоворот, вернуть всё «как было» . Это тупик, потому, что сила этого водоворота гораздо мощнее, чем силы человека. Продолжается такая борьба до тех пор, пока есть силы сопротивляться. И эта бесполезная и заведомо проигрышная борьба выжигает все ресурсы и приносит лишь страдания.

А далее, опять-таки, есть два пути, но уже отнюдь не сам человек выбирает их сознательно. Один путь – выйти из передряги сломленным, более или менее восстановить себя и дать себе обещание больше "никогда и ни за что" не ввязываться в такие дела… До следующего раза. Ведь жизнь гораздо больше, чем любые наши желания – в том числе и желания избежать кризисов.

Второй путь – выйти на точку ноля . И обычно это происходит неосознанно – просто Другое Я берёт измученного путника за шкирку и выносит в эту точку. Дух человека бывает гораздо сильнее, чем сам человек это в себе подозревает...

Eсли же не бороться с водоворотом, а, как говорят сёрферы, "ловить волну" , и пройти самому такой водоворот до самого центра, то оказываешься в точке ноля осознанно. Переживания в ней сугубо индивидуальны, но кое-что можно обобщить:

В какой-то момент самого невыносимого напряжения: как извне – от людей, ситуаций, событий; так и изнутри – от внутренних раздирающих конфликтов, замешательства, усилий, происходит хлопок... и оказываешься в месте абсолютной внутренней пустоты, предельной ясности восприятия и полном безразличии к своей "маленькой судьбе".

Карлос Кастанеда описывал это в своих книгах, как "место без жалости" . В такой момент начинаешь действовать максимально чётко и эффективно. Время останавливается, а с ним и ощущение напряжения. Одновременно всё твоё существо наполняет сила, вибрация, благодаря которой буквально "режешь" пространство.

На пике ты переживаешь момент абсолютного одиночества. Все окружающие становятся статистами. Ты сам, своим эго , становишься одним из них – таким же статистом. Собственные заботы и интересы становятся такими же неважными, как и заботы и интересы других.

Но одновременно какая-то другая часть тебя становится центром твоего существа. И этой своей частью ты чувствуешь такие же части других людей.

В такой момент «небеса открываются» , и ты понимаешь, что ты не одинок. Вернее не так – что одиночество, как и твоя собственная индивидуальность – лишь иллюзия, лишь точка зрения, которая стремительно тает на твоих глазах. Личность растворяется. Эго умирает... И тогда на тебя обрушивается Знание . Огонь начинает говорить с тобой, если ты рядом с ним. Звёзды поют тебе свои песни. Деревья обнимают своими теплыми, и одновременно свежими чувствами. Весь мир становится единым с тобой и говорит: «Ну, наконец-то ты вернулся...» . И именно так ты это и переживаешь - как долгожданное возвращение домой...

Точка ноля может стать кошмаром в мире современного города. Потому, что из неё начинаешь видеть суть вещей, людей и событий. На Природе этой сутью пронизано всё. В городском социуме, когда спадает пелена ложных смыслов, оказываешься в черном хаотическом вакууме бессмыслицы. А это не самое приятное зрелище.

Поэтому, почувствовав приближение кульминации кризиса, наилучшее место, куда следует направить свои стопы – на Природу . Разумеется при условии, что есть четкое понимание своих сил и ответственности за себя.

Для тех, кто подходит к этому наиважнейшему моменту в своей жизни осознанно и с намерением, лучшее место, где можно встретить это Испытание – Тольтекский Поиск Видения .

А дальше… Дальше предстоит возвращение – к родным и близким, коллегам и друзьям, своим ещё не реализованным планам и ещё нерешенным задачам. Но тот, кто возвращается, пройдя точку ноля , это всегда другой человек. Человек, обогащенный знанием и опытом и одновременно облегченный от того, что показало свою ненужность и бесполезность для Жизни.

Через какое-то время эго встрепенётся: «Как так - праздник без меня?» . И начнёт брать контроль в свои руки. Но уходящая пронзительная ясность , превращаясь из мощного потока в тоненькую нить, остаётся почти невидимой связью тебя с самим собой. И будет напоминать о себе лёгкой ностальгией, щемящим чувством желания двигаться «куда-то туда»... до следующей встречи.

(с) Сергей Рословец

Функция f(x)±g(x) непрерывна в точке х 0 , если функции f(x\g(x) не­прерывны в точке х 0 .

Функция f(x)-g(x) непрерывна в точке х 0 , если функции f{x\g{x) не­прерывны в точке х 0 .

Функция- непрерывна в точке х 0 , если функции f(x), g(x) непре­рывны в точке х q и g(x 0 ) ф 0.

Функция f(g(x)) непрерывна в точке х 0 , если функция f(z) непрерывна в точке z 0 = g(x 0 ) , а функция g(x) непрерывна в точке х 0 .

Определение. Функция называется непрерывной на интервале (а; Ь\ если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция Дх ) называется не­прерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале (а; Ь), а также непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ъ (т.е. lim fix) = f(a\ lim fix) = fib))

Определение. Функция называется разрывной в точке х q , если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий критерия непрерывности функции в точке. В этом случае точка х 0 называется точкой разрыва функции.

Классификация точек разрыва функции

1) Точка х 0 называется точкой устранимого разрыва , если в этой точкесуществуют, конечны и равны между собой пределы справа и слева, т.е.

ton /О) = ton /О). Но при этом значение функции в точке х 0 либо не опре-

делено, либо не равно указанным односторонним пределам.

2) Точка X 0 называется точкой разрыва 1-го рода , если в этой точке су­ществуют, конечны и не равны между собой пределы справа и слева, т.е.

ton /(jc)* ton /00

х^>х 0 +0 х^>х 0 -0

3) Точка X 0 называется точкой разрыва 2-го рода , если в этой точке хотябы один из пределов справа и слева не существует или бесконечен.

ПРИМЕР. Исследовать функции/(х), / 2 (jc), / 3 (jc) на непрерывность, опре­делить точки разрыва, если таковые имеются, и установить характер разрыва. РЕШЕНИЕ.

1) f1(x) = . Функция не определена в точке х = 0, поэтому эта точ-

ка является точкой разрыва. Определим род разрыва. Используя первый заме­чательный предел (см. формулу (1)), получим

sinx . sinx sinx Hm = Hm = lim = 1 следовательно, x = 0 является точкой уст-

x^0 x x ^0-0 x x ^0+0 x

ранимого разрыва.

2) / 2 (jc) = 3 X . Функция не определена в точке х = 0, значит, в этой точ­ке функция терпит разрыв. Покажем, что это разрыв 2-го рода. Найдем пределысправа и слева в точке х = 0. Вспомним предельные свойства показательнойфункции d (а > 1), известные из школьной программы: Hm a 1 = +oo, Hm а 1 = 0.

/->+да f-»-oo

Отсюда получим:

lim 3 х = lim3* =

x ->0+0 *->0

= t ^+00 X

при x -» 0, x > 0

lim 3 f = +oo,

£- » -00

lim 3 х =ШпЗ*

= lim У = О .

И/7И Х^О,Х<0

Так как предел справа равен бесконечности, то х = 0 является точкой раз­рыва 2-го рода. Схематичный график исследуемой функции представлен на ри­сунке 1.

Рис. 1. Схематичный график функции f 2 (x)

jc + 3 ,jc < 0

х 3 + 3 , 0 < х < 1 3-jv: , jc > 1

Функция f 3 (x) задана различными аналитическими выражениями на про­межутках (-оо;0), " = f"-v"-u".

Таблица производных элементарных функций

(х"У = п-х"-\

(а х )" = а х \па, (е х )" = е х .

3) (log jcV =^, (ln*)" = -.

а ) хАъа ) х

1. (sin*)"= cosx

\ + x 2

\ + x 2

9) (arccos*y =

(chx )" = shx

(S hjc)" = chjc.

(thjc)" l

ch 2 x -1

гиперболический косинус ch x гиперболический синус sh x

Замечание. В таблице производных по формулам 12 - 15 определяются производные для гиперболических функций, которые связаны с экспонентой следующими соотношениями:

е х +е~ х

shjc е х -е~ х

2 е х -е~ х

chjc e x +e~ x chjc е х +е~ х

гиперболический тангенс th x =

гиперболический котангенс cth* =

Если совместить свойство 7 для нахождения производной сложной функ­ции с таблицей производных элементарных функций, получим следующие формулы, которыми удобно пользоваться при вычислении производных слож­ных функций, если и = и (х):

{и п )" = п-и п - 1 -и".

{а и )" = а и \па-и\ (е и )" = е и -и".

3) (log и)" = , (1пм)" = -.

а иЛпа и

(cosu)" =-smu-u".

(sin и)" = cos и -и".

и и"

7) (ctg M)" = -^

^/Г^ 2 ~

и"

(arcsinw)" =

и"

и"

(arctgw)" =

\ + и 2

(chw)" = shww".

(shw)" = chww". и"

ch 2 w -и"

14) (thw)"

ПРИМЕР. Найти производные заданных функций: 1)у = 4 х\ 2)у = ^5,

3)_у = 7 х2 " 8х,

4)^ = 1п(х 4 -2х 3 + 6),

5)>> = cos Зх.

1) / = 4-(jc 2)" = 4-2jc = 8jc,

П 1 ^-i 1 - 2 1

(х- 5)

-0-5) 3 .(jc-5)" = -(jc-5) 3 -l =

3) У = (7 л2 - 8л)" = 7 х2 - 8х -1п7-(х 2 -8хУ = 7 л2 - 8л -1п7-(2х-8),

, n 4 з ™ (x 4 -2x 3 +6)" 4x 3 -6x 2 +0 2x 2 (2x -3)

4) v = (\n(x - 2x + 6У) = = =

У У ) } x 4-2x 3+6 x 4-2x 3+6 x 4-2x 3+6"

5) у" = (cos 3jc)" = - sin 3x ■ (3 jc)" = - sin 3x ■ 3 = -3 sin 3 jc.

20 ПРИМЕР. Найти производные функций

1) y = x-mctgx, 2) y = arccos^,3) у = log^(3 + 5" x ).

х

1 + х 2

У = О arctg jc )" = х" ■ arctg x + х ■ (arctg jc )" = arctg x +

y = (arccos^y = - . Х -Щ =- . * г

Vi- (V^ ) 2 v ; Vi- (^ ) 2 2v*

3) y = (log 3 2 (3 + 5- x ))" = 31og 2 2 (3 + 5- x )-(log 2 (3 + 5- x ))" =

= 31og 2 (3 + 5-x )- " = 31og 2 (3 + 5-x ) l j

(3 + 5" x )ln2

(3 + 5" x )-ln2

- 3 log 2 (3 + 5"* )

5"Mn5 (3 + 5" x )ln2

ПРИМЕР. Найти производные функций1) ^=--л/ 1- 4л: 2 , 2) у 2 =\ь

2 х РЕШЕНИЕ.

1) Вычислим производную у[ , используя свойства 6 и 7, а так же табличную производную 1:

(- 8x )- x -Vl- 4x 2 -l

2-Vl-4x 2

Ух

Ы 1 ^)

X

X

4x 2 -(1-4x 2)

;

2 x 2 -1-4x 2

x 2 -1-4x 2 2) Используя свойства логарифмов и 2-ое свойство производных, получим:

У 2

( л l + Vl-4x 2 lI n

2 х

(ln(l + Vl- 4:c 2)) -(1п 2)"-(1шс)"

-(1W1-4x 2) -0 - =

(1 + 1-4x 2) v " *

1 .(-8jc)-- 4 x

(1 + 1-4x 2) 2-1-4x 2 * (1 + 1-4x 2)-1-4x 2 *

4х2-(1 + 1Г4 2)-л1Г47 -4 x 2-^1Г47-(^1::47)2

zz

4J 2 + ^1Г47 + 1-4J 2 1 + л1Г47 -1

х-(1+л1Г47)-1Г47 х(1+л1Г47)-л1Г47 *-л1Г47

1) У 1 = / 2) ^ 2

- 2) 2 / 2

ПРИМЕР. Составить уравнение нормали к кривой у = 3(3Jc - 2<У*) в точ­ке с абсциссой х 0 = 1.

РЕШЕНИЕ. Для того чтобы составить уравнение нормали, найдем у 0 = у(х 0 ) и / (jc 0):

у 0 = 3(1 - 2) = - 3;

/"(jc) = (3-(3*-2V*)) = 3-(- -jc 3 -2 - jc 2)

32 3 [х2 J*"

/"(jc 0) = /"(1) = 1-3 = -2. Подставим х 0 =1, у 0 = - 3, / / (х 0) = - 2 в уравнение нормали (см. формулу (4)):

j/-(-3) = (л-1).

После преобразования получим искомое уравнение нормали:

х - 2у - 7 = 0. ОТВЕТ: х - 2у - 7 = 0 - уравнение нормали.

22 Производная степенно-показательной функции у = (Ф)У (х) находится с помощью метода логарифмического дифференцирования. Этот метод состоит в том, что исходную функцию сначала логарифмируют; затем преобразуют к произведению, используя свойства логарифмов, и находят производную от ле­вой и правой части уравнения, в котором содержится заданная функция; нако­нец из полученного уравнения выражают искомую производную. Покажем вы­вод формулы производной степенно-показательной функции методом лога­рифмического дифференцирования:

y = u v , 1п>" = 1п (м у ), \ny = v-\nu, (\ny)"=v"-\nu + v(\nu)\

£ = v"-1nu + v- - ,

У и

V 1J y " = y . ( V "-\ n U + ),

и

и Таким образом, получили формулу для вычисления производной степен­но-показательной функции:

V U

(u v)" = u v-(v"-\mi + ). (5)

ПРИМЕР. Найти производную функции у = (sinx ) cos x . РЕШЕНИЕ. В нашем случае и = sinx , v = cosx, следовательно, и" = cos x, v" = - sin x Поэтому из формулы (5) следует

((sin*) 00 ")" = (smx)"»* .(-smx.\nsmx + C0SX - C ° SX \ v 7 sinx

y" = (sin x ) cos x (ctg x ■ cos x - sin x ■ In sin x). ОТВЕТ: у" = (sin x ) cos x (ctg x ■ cos x - sin x ■ I n sin x).

Утверждение. Производная у" (х ) по переменной х от функции, заданной

(х = X(t),

в параметрическом виде i , определяется по формуле [ у = Y(t)

х:

Определение. Производной п-го порядка f (n) {x) от функции j/ = f{x) на­зывают первую производную от (и- 1)-ой производной, т.е.

/ (и) (*) = (/ (и_ 1) (* ))"

Из определения следует, что вторая производная от заданной функции есть первая производная от первой производной этой функции, и вычисление производных порядка больше первого сводится к вычислению первой произ­водной от новых функций.

Получим формулу для вычисления второй производной у" по перемен-

\х = X(t\ ной х от функции, заданной в параметрическом виде j = y(t) :

у " =(у " У

У XX \УХУХ

Необходимо вычислить первую производную от новой функции, задан­ной в параметрическом виде, применив формулу (6) к функции

\х = X(t),

\ > Yt

V -

Vх х\

Следовательно,

У

( у У

х[

24 ПРИМЕР. Найти первую и вторую производную функции, заданной в па­раметрическом виде

fx = lncos?, [.у = In sin?.

РЕШЕНИЕ. Для того чтобы найти первую производную у , вычислим первые производные по переменной? от х и у:

x t -

cost

Тогда по формуле (6) имеем

. COS?COS? 2

У\ = - , =-ctg 2 ?. sin? sin?

Вторую производную находим по формуле (7):

(y"J t (- ctg 2 p; g K S m 2 ?

V = =

У XX

sin t

2 cos?

Ухх sm4?

25 I.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение. Дифференциалом функции у = (*) называется произведе­ние производной функции на дифференциал переменной и обозначается dy = f (x)-dx. Дифференциал независимой переменной есть приращение этой переменной: dx = Ax.

Из определения дифференциала следует еще одно представление первой производной через дифференциалы:

S„ y

1 (х) = -

dx . Геометрический смысл дифференциала : дифференциал функции в не­которой точке равен приращению ординаты касательной, проведенной в этой точке: Ду кас = dy (см. рисунок 3). Это следует непосредственно из уравнения касательной в точке (см. формулу (3)). Если обозначить у~y 0 =Аy к ас. , х - х 0 = А х = dx , то уравнение касательной можно записать в виде: Ау кас = f"(x 0 ) ■ Ах , или Ду кас = dy

Рис. 3. Геометрический смысл дифференциала

26 Из геометрического смысла дифференциала следует формула прибли­женного вычисления функции через дифференциал. При малых приращениях переменной приращение функции можно заменять приращением касательной (см. рис. 3), т.е. при малых А х справедливо приближенное равенство

Ау~Ау ка с = f"(x 0 )-Ax.

Так как A y = f(x 0 + Ах ) - f(x 0 ), то получаем формулу приближенного вычисления функции в некоторой точке близкой к х 0 :

f(x 0 + Ах ) « Дх 0) + f(x 0 ) Ах . (8)

ПРИМЕР. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение

функции / (* ) = A 4/2*-sin

в точке х = 1,02.

РЕШЕНИЕ. Для того чтобы применить формулу приближенного вычис­ления (8), сначала необходимо определить, что взять за х 0 . Так как А х должно быть маленьким и желательно, что бы функция хорошо вычислялась в точке х 0 , то предпочтительно взять х 0 = 1. Тогда А х = х-х 0 = 1,02- 1 = 0,02. Теперь необходимо найти значения функции и производной в точке х 0 = 1:

/(jc) = /(!) = 4 2-1 -sin

*[Га=*Ц = \,

2 х - sin

/"(jc) = /"(!) = -

2 1 - sin

^ lVf 4 2 JJ

v, 2 / 2

= --(2-l)"i(2- 0) = --l- 2 = - . 4 v / v / 42

Подставляем полученные значения в формулу (8), вычисляем прибли­женное значение функции:

/(1,02) */(1) + /" (1)- Ах « 1 + 0,5-0,02 « 1 + 0,01 «1,01. ОТВЕТ:(1,02) ≈ 1,01.