Главная Обществознание Лоренц э детерминированное непериодическое движение. Аттрактор лоренца. Отрывок, характеризующий Аттрактор Лоренца

Лоренц э детерминированное непериодическое движение. Аттрактор лоренца. Отрывок, характеризующий Аттрактор Лоренца

фрактал множество жюлиа аттрактор

До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

Достаточно скоро стало ясно, что многие хаотические динамические системы, описывающие феномены окружающего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть представлены традиционными методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции.

Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере Исследование аттрактора Лоренца включается сейчас в любой

математический пакет, например, Mathematica, Maple.. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

dx/dt = (-x + y),

dy/dt = rx - y - xz,

dz/dt = -bz + xy.

В дальнейших расчетах параметры, r и b постоянны и принимают значения = -10, r = 28 и b = 8/3.

Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое

Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий --- основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?», опубликованной в 1979 году

Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в данной курсовой работе не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики --- дискретные, к которым относится знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа.

Рис. 4.1.1. Аттрактор Лоренца.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса -- это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок -- и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы -- наследственной непредсказуемости системы -- а на унаследованном ей порядке -- общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца (ри.1). Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с колебаниями числа Авогадро (очень маленькое число порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к. он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы -- в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

Реферат

По дисциплине: Математика

„ Аттрактор Лоренца “

Аттрактор Лоренца

решение системы при r =0,3

решение системы при r =1,8

решение системы при r =3,7

решение системы при r =10

решение системы при r =16

решение системы при r =24,06

решение системы при r =28 ― собственно, это и есть аттрактор Лоренца

решение системы при r =100 ― виден режим автоколебаний в системе

Аттрактор Лоренца (от англ. to attract - притягивать) ― инвариантное множество в трехмерном гладкого , которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно и все траектории из некоторой окрестности стремятся к при (отсюда название).

Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах , исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:

при следующих значениях параметров: σ=10, r =28, b =8/3. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное для задачи о морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b , но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:

конвекция в замкнутой петле;

вращение водяного колеса;

модель одномодового ;

диссипативный с инерционной нелинейностью.

Исходная гидродинамическая система уравнений:

где - скорость течения, - температура жидкости, - температура верхней границы (на нижней поддерживается ), - плотность, - давление, - сила тяжести, - соответственно , и кинематической .

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений записывается в . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник.

Применимость и соответствие реальности

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное , σ - (отношение коэффициента кинематической к коэффициенту ), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.

Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.

Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.

Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в лазера, y - , z - инверсия населённостей , b и σ - отношения коэффициентов инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность .

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра , так как система приходит к только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Поведение решения системы

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

r <1 - аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.

1< r <13,927 - траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется структура из вращающихся валов жидкости.

r ≈13,927 - если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку - возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.

r >13,927 - в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel - отталкивать).

r ≈24,06 - траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r ≈24,74.

При больших значениях параметра траектория претерпевает серьезные изменения. Шильников и Каплан показали, что при очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

Значимость модели

Модель Лоренца является реальным физическим примером с хаотическим поведением, в отличие от различных искусственно сконструированных отображений ( , и др.).

Программы, моделирующие поведение системы Лоренца

Borland C

#include

void main()

double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;

double dt = 0.0001;

int a = 5, b = 15, c = 1;

int gd=DETECT, gm;

initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");

do {

X1 = x + a*(-x+y)*dt;

Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

X = x1; y = y1; z = z1;

Putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

(int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

} while (!kbhit());

closegraph();

Mathematica

data = Table[

With[{N = 1000, dt = 0.01, a = 5, b = 1 + j, c = 1},

NestList &,

{3.051522, 1.582542, 15.62388}, N

{j, 0, 5}];

Graphics3D@MapIndexed[{Hue], Point[#1]} &, data]

Borland Pascal

Program Lorenz;

Uses CRT, Graph;

Const

dt = 0.0001;

a = 5;

b = 15;

c = 1;

Var

gd, gm: Integer;

x1, y1, z1, x, y, z: Real;

Begin

gd:=Detect;

InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");

x:= 3.051522;

y:= 1.582542;

z:= 15.62388;

While not KeyPressed Do Begin

x1:= x + a*(-x+y)*dt;

y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;

x:= x1;

y:= y1;

z:= z1;

PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);

End;

CloseGraph;

ReadKey;

End.

FORTRAN

program LorenzSystem

real,parameter::sigma=10

real,parameter::r=28

real,parameter::b=2.666666

real,parameter::dt=.01

integer,parameter::n=1000

real x,y,z

open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")

x=10.;y=10.;z=10.

do i=1,n,1

x1=x+sigma*(y-x)*dt

y1=y+(r*x-x*z-y)*dt

z1=z+(x*y-b*z)*dt

x=x1

y=y1

z=z1

write(1,*)x,y,z

enddo

print *,"Done"

close(1)

end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC(«fbc -lang qb»)

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE

DIM a, b, c AS INTEGER

x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001

a = 5: b = 15: c = 1

SCREEN 12

PRINT "Press Esc to quit"

WHILE INKEY$ <> CHR$(27)

x1 = x + a * (-x + y) * dt

y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt

z1 = z + (-c * z + x * y) * dt

x = x1

y = y1

z = z1

PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9

WEND

END

JavaScript и HTML5

var cnv = document.getElementById("cnv");

var cx = cnv.getContext("2d");

var x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;

var dt = 0.0001;

var a = 5, b = 15, c = 1;

var h = parseInt(cnv.getAttribute("height"));

var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));

var id = cx.createImageData(w, h);

var rd = Math.round;

var idx = 0;

i=1000000; while (i--) {

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y = y1; z = z1;

idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);

id.data = 255;

cx.putImageData(id, 0, 0);

IDL

PRO Lorenz

n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. & b=15. & c=1.

FOR i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0.0001

plot,19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.

END

Литература

Кузнецов С. П. , Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // - М.: Физматлит, 2001.

Saltzman B . Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 - p. 329-341.

Лоренц Э . Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. - М., 1981. - С. 88-116.

Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.

Рис. 1.

и фазовые портреты (нижний ряд) для трех различных систем

(Глейк, 2001)

Хотя в работах некоторых математиков ранее была установлена возможность существования странных аттракторов, впервые построение странного аттрактора (рис. 2) как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц (E.Lorentz, 1963). Конечное состояние системы Лоренца чрезвычайно чувствительно к начальному состоянию. Сам же термин «странный аттрактор» появился позже, в работе Д. Рюэлля и Ф. Такенса в (D.Ruelle, F. Takens, 1971: см. Рюэль, 2001) о природе турбуленции в жидкости; авторы отмечали, что размерность странного аттрактора отлична от обычной, или топологической.Позже Б. Мандельброт (B.Mandelbrot) отождествил странные аттракторы, траектории которых при последовательных вычислениях компьютера бесконечно расслаиваются, расщепляются, с фракталами.

Рис. 2. (Хаотические траектории в системе Лоренца). Аттрактор Лоренца (Кроновер, 2000)

Лоренц (Lorenz, 1963) обнаружил, что даже простая система из трех нелинейных дифференциальных уравнений может привести к хаотическим траекториям В свою очередь, движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:

где s, r и b -- некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s =10, r =28 и b =8/3 (значения параметров).

Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающим случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций. Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности - так называемый биллиард Я.Г. Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий (за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна) и непредсказуемости поведения системы.

В таких системах «случайность создается подобно тому, как перемешивается тесто или тасуется колода карт» (Кратчфилд и др., 1987). Так называемое «преобразование пекаря» с последовательным растягиванием и складыванием, бесконечным образованием складок - одна из моделей возникновения перехода от порядка к хаосу; при этом число преобразований может служить мерой хаоса. Есть Аттрактор Айдзавы, который является частным случаем аттрактора Лоренца.

где а = 0,95, B = 0,7, с = 0,6, d = 3,5, е = 0,25, F = 0,1. Каждая предыдущая координата вводится в уравнения, полученное в результате значение, умноженное на значения времени.

Примеры других странных аттракторов

Аттрактор ВангСун

Здeсь a, b, d, e?R, c> 0 и f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

Аттрактор Рёсслера

Где a,b,c= положительные постоянные. При значениях параметров a=b=0.2 и

решение системы при r =24,06

решение системы при r =28 ― собственно, это и есть аттрактор Лоренца

решение системы при r =100 ― виден режим автоколебаний в системе

В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник .

Применимость и соответствие реальности

Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.

Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное число Рэлея , σ - число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в резонаторе лазера, y - поляризация , z - инверсия населённостей энергетических уровней , b и σ - отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность накачки .

Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.

Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра r {\displaystyle r} , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.

Поведение решения системы

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.

r <1 - аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.

1<r <13,927 - траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

{ x = ± b (r − 1) y = ± b (r − 1) z = r − 1 {\displaystyle {\begin{cases}x=\pm {\sqrt {b(r-1)}}\\y=\pm {\sqrt {b(r-1)}}\\z=r-1\end{cases}}}

r ≈13,927 - если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку - возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.

r >13,927 - в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel - отталкивать).

r ≈24,06 - траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r ≈24,74.

Значимость модели

Модель Лоренца является реальным физическим примером динамических систем с хаотическим поведением, в отличие от различных искусственно сконструированных отображений («зуб пилы» , «тент» , преобразование пекаря , отображение Фейгенбаума и др.).

Программы, моделирующие поведение системы Лоренца

Borland C

#include #include void main () { double x = 3.051522 , y = 1.582542 , z = 15.62388 , x1 , y1 , z1 ; double dt = 0.0001 ; int a = 5 , b = 15 , c = 1 ; int gd = DETECT , gm ; initgraph (& gd , & gm , "C: \\ BORLANDC \\ BGI" ); do { x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; putpixel ((int )(19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ), (int )(- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ), 9 ); } while (! kbhit ()); closegraph (); }

Mathematica

data = Table [ With [{ N = 1000 , dt = 0.01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 }, NestList [ Module [{ x , y , z , x1 , y1 , z1 }, { x , y , z } = # ; x1 = x + a (- x + y ) dt ; y1 = y + (b x - y - z x ) dt ; z1 = z + (- c z + x y ) dt ; { x1 , y1 , z1 }] & , { 3.051522 , 1.582542 , 15.62388 }, N ] ], { j , 0 , 5 }]; Graphics3D @ MapIndexed [{ Hue [ 0.1 First [ # 2 ]], Point [ # 1 ]} & , data ]

JavaScript и HTML5

< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script > var cnv = document . getElementById ("cnv" ); var cx = cnv . getContext ("2d" ); var x = 3.051522 , y = 1.582542 , z = 15.62388 , x1 , y1 , z1 ; var dt = 0.0001 ; var a = 5 , b = 15 , c = 1 ; var h = parseInt (cnv . getAttribute ("height" )); var w = parseInt (cnv . getAttribute ("width" )); var id = cx . createImageData (w , h ); var rd = Math . round ; var idx = 0 ; i = 1000000 ; while (i -- ) { x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; idx = 4 * (rd (19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ) + rd (- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ) * w ); id . data [ idx + 3 ] = 255 ; } cx . putImageData (id , 0 , 0 );

Подробности Опубликовано: 10.07.2018 11:13 : Windows.
Лицензия: бесплатно.
Версия: 1.1.0.0.
Аннотация : демонстрируется программа для анализа системы Лоренца, позволяющая наблюдать такие состояния системы, как устойчивый аттрактор, два неустойчивых аттрактора, фокус, гомоклиническая петля с устойчивым и неустойчивыми фокусами, аттрактор Лоренца, предельный цикл и удвоенный предельный цикл.
Скачать: ZIP (архив программы) .
Ключевые слова: аттрактор Лоренца, система Лоренца, исследование системы дифференциальных уравнений Лоренца, аттрактор Лоренца matlab, исследование системы Лоренца, аттрактор Лоренца c++, эффект бабочки, гомоклиническая петля, фазовый портрет Лоренца, фазовый портрет системы Лоренца, фазовое пространство Лоренца, решение системы лоренца, странный аттрактор Лоренца, бабочка Лоренца, гомоклиническая траектория, гомоклиническая структура, хаотическое решение, Эдвард Лоренц.

Система Лоренца представляет собой трехмерную систему нелинейных автономных дифференциальных уравнений. Динамическая система была исследована Эдвардом Лоренцем в 1963 году. Основной причиной, породившей такой интерес к системе уравнений Лоренца, является ее хаотическое поведение. Система уравнений записывается в виде

где q, r, b > 0. В результате интегрирования системы были выявлены закономерности, приведенные ниже.

При r>0 и r<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).

Рис. 1. Устойчивый аттрактор, r>0 и r<1

При r близкой к 1 возникает критическое замедление. Когда r превышает значение 1, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него ответвляются два аттрактора (рис.2), оба глобально и локально устойчивы.

Рис. 2. Два устойчивых аттрактора, r>1

В случае r<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1,345 – фокусами (рис.4).

Рис. 3. Два узла, r=1,3

Рис. 4. Два фокуса, r=10

При увеличении r до величины 13,926 две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при t стремящемся к бесконечности, при этом перестают быть глобальными аттракторами.

В случае r=13,927 точка может совершать колебательные движения из одной окрестности в другую и обратно. Такое поведение называют метастабильным хаосом или гомоклинической петлей (рис.5).

Рис. 5. Гомоклиническая петля, r=13,927

При r>13,927 в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором. Происходит бифуркация гомоклинических траекторий с образованием двух неустойчивых циклов (рис.6).

Рис. 6. Два неустойчивых цикла, r>13,927

При значении r=24,06 траектории ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам - возникает собственно аттрактор Лоренца (рис.7).

Рис. 7. Аттрактор Лоренца, r=24,06

В случае r>24,06 происходит очередная бифуркация. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r=24,74.

При r=24,74 возникает инверсия бифуркации Хопфа, когда r>24,74 остается «странный аттрактор» (рис.8).

Рис. 8. Странный аттрактор Лоренца, r>24,74

В случае увеличения r до 100 наблюдается автоколебательный режим (рис.9).

Рис. 9. Автоколебательный режим, r=100

При увеличении r до значения 225 происходит каскад бифуркаций удвоения цикла (рис.10).

Рис. 10. Удвоение цикла, r=225

Рис. 11. Два несимметричных периодических решения, r=300

При больших значениях r в системе существует симметричный цикл (рис.12).

Рис. 12. Симметричный цикл, r=400

Программа «Lorenz - программа для изучения системы Лоренца», реализованная в среде разработки Turbo C++, позволяет смоделировать систему Лоренца. Построение фазовых портретов и графика зависимости решений от времени t ведется на основе метода Рунге-Кутта третьего порядка. Интерфейс программы приведен на рис.13.

Рис. 13.

Моделирование поведения системы Лоренца с использованием программы Lorenz предполагает выполнение следующих шагов (рис.14):

определить начальные координаты (x0,y0,z0);
задать шаг интегрирования h и число итераций i;
установить значение коэффициентов q, r, b;
(опционально) установить индикатор «Подробно» для получения деталей решения;
нажать кнопку «Вычислить»;
(опционально) дважды щелкнуть на полученных изображениях для их копирования в буфер обмена.

Рис. 14.

Примеры моделирования поведения системы Лоренца программой Lorenz приведены на рис.15.

Рис. 15.

Литература

Архангельский А.Я. Программирование в C++ Builder. – М.: Бином-Пресс, 2010. – 1304 с.
Кирьянов Д. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. – СПб.: БХВ-Петербург, 2012. – 432 с.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: МЦНМО, 2012. – 344 с.

Список программ

MassTextReplacer - программа для массового изменения текстовых файлов ;
Lorenz - программа для изучения системы Лоренца;