В данном подразделе мы вводим декартовы произведения, отношения, функции и графы. Изучаем свойства этих математических моделей и связи между ними.

Декартово произведение и перечисление его элементов

Декартовым произведением множеств A и B называется множество, состоящее из упорядоченных пар: A ´ B = {(a ,b ): (a Î A ) & (b Î B )}.

Для множеств A 1 , …, A n декартово произведение определяется по индукции:

В случае произвольного множества индексов I декартово произведение семейства множеств {A i } i Î I определяется как множество, состоящее из таких функций f: I ® A i , что для всех i Î I верно f(i) Î A i .

Теорема 1

Пусть A и B – конечные множества. Тогда | A ´B| = | A| ×| B|.

Доказательство

Пусть A = { a 1 , …, a m } , B = { b 1 , …, b n } . Элементы декартового произведения можно расположить с помощью таблицы

(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n) ;

(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n) ;

(a m ,b 1), (a m ,b 2),…, (a m ,b n) ,

состоящей из n столбцов, каждый из которых состоит из m элементов. Отсюда | A ´B|= mn .

Следствие 1

Доказательство

C помощью индукции по n . Пусть формула верна для n . Тогда

Отношения

Пусть n ³1 – положительное целое число и A 1 , …, A n – произвольные множества. Отношением между элементами множеств A 1 , …, A n или n-арным отношением называется произвольное подмножество .

Бинарные отношения и функции

Бинарным отношением между элементами множеств A и B (или, коротко, между A и B ) называется подмножество R Í A ´B .

Определение 1

Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множеств A и B и подмножества f Í A ´ B (графика функции ), удовлетворяющего следующим двум условиям;

1) для любого x Î A существует такой y Î f , что (x, y) Î f ;

2) если (x, y) Î f и (x, z) Î f , то y = z.

Легко видеть, что f Í A ´ B будет тогда и только определять функцию, когда для любого x Î A существует единственный y Î f , что (x ,y ) Î f . Этот y обозначим через f (x ).

Функция называется инъекцией , если для любых x, x’ Î A , таких что x ¹ x’ , имеет место f(x) ¹ f(x’) . Функция называется сюръекцией , если для каждого y Î B существует такой x Î A , что f (x ) = y . Если функция является инъекцией и сюръекцией, то она называется биекцией .

Теорема 2

Для того чтобы функция была биекцией, необходимо и достаточно существования такой функции , что fg = Id B и gf = Id A .

Доказательство

Пусть f – биекция. В силу сюръективности f для каждого y Î B можно выбрать элемент x Î A , для которого f (x ) = y . В силу инъективности f , этот элемент будет единственным, и мы обозначим его через g (y ) = x . Получим функцию .

По построению функции g , имеют место равенства f (g (y )) = y и g (f (x )) = x . Значит, верно fg = Id B и gf = Id A . Обратное очевидно: если fg = Id B и gf = Id A , то f – сюръекция в силу f (g (y )) = y , для каждого y Î B . В этом случае из будет следовать , и значит . Следовательно, f – инъекция. Отсюда вытекает, что f – биекция.

Образ и прообраз

Пусть – функция. Образом подмножества X Í A называется подмножество f(X) = { f(x): x Î X} Í B. Для Y Í B подмножество f - -1 (Y) ={ x Î A: f(x) Î Y} называется прообразом подмножества Y .

Отношения и графы

Бинарные отношения можно наглядно показать с помощью ориентированных графов .

Определение 2

Ориентированным графом называется пара множеств (E, V) вместе с парой отображений s, t: E ® V . Элементы множества V изображаются точками на плоскости и называются вершинами . Элементы из E называются направленными ребрами или стрелками . Каждый элемент e Î E изображается в виде стрелки (возможно, криволинейной), соединяющей вершину s(e) с вершиной t(e) .

Произвольному бинарному отношению R Í V ´ V соответствует ориентированный граф с вершинами v Î V , стрелками которого являются упорядоченные пары (u, v) Î R . Отображения s, t: R ® V определяются по формулам:

s(u, v) = u и t(u, v) = v .

Пример 1

Пусть V = {1,2,3,4} .

Рассмотрим отношение

R = {(1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)} .

Ему будет соответствовать ориентированный граф (рис. 1.2). Стрелками этого граф будут пары (i, j) Î R .

Рис. 1.2. Ориентированный граф бинарного отношения

В полученном ориентированном графе любая пара вершин соединяется не более чем одной стрелкой. Такие ориентированные графы называются простыми . Если не рассматривать направление стрелок, то мы приходим к следующему определению:

Определение 3

Простым (неориентированным) графом G = (V, E) называется пара, состоящая из множества V и множества E , состоящего из некоторых неупорядоченных пар {v 1 , v 2 } элементов v 1 , v 2 Î V таких, что v 1 ¹ v 2 . Эти пары называются ребрами , а элементы из V – вершинами .

Рис. 1.3. Простой неориентированный граф K 4

Множество E определяет бинарное симметричное антирефлексивное отношение, состоящее из пар (v 1 , v 2 ), для которых {v 1 , v 2 } Î E . Вершины простого графа изображаются как точки, а ребра – как отрезки. На рис. 1.3 изображен простой граф с множеством вершин

V = {1, 2, 3, 4}

и множеством ребер

E = {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Операции над бинарными отношениями

Бинарным отношением между элементами множеств A и B называется произвольное подмножество R Í A ´ B . Запись aRb (при a Î A , b Î B ) означает, что (a, b) Î R .

Определены следующие операции над отношениями R Í A ´ A :

· R -1 = {(a,b): (b,a) Î R} ;

· R ° S = {(a,b): ($ x Î A)(a,x) Î R & (x,b) Î R} ;

· R n = R °(R n -1) ;

Пусть Id A = {(a, a): a Î A} – тождественное отношение. Отношение R Í X ´ X называется:

1) рефлексивным , если (a, a) Î R для всех a Î X ;

2) антирефлексивным , если (a, a) Ï R для всех a Î X ;

3) симметричным , если для всех a, b Î X верна импликация aRb Þ bRa ;

4) антисимметричным , если aRb & bRa Þ a= b ;

5) транзитивным , если для всех a, b, c Î X верна импликация aRb & bRc Þ aRc ;

6) линейным , для всех a, b Î X верна импликация a ¹ b Þ aRb Ú bRa .

Обозначим Id A через Id . Легко видеть, что имеет место следующее.

Предложение 1

Отношение R Í X ´ X :

1) рефлексивно Û Id Í R ;

2) антирефлексивно Û R Ç Id= Æ ;

3) симметрично Û R = R -1 ;

4) антисимметрично Û R Ç R -1 Í Id ;

5) транзитивно Û R ° R Í R ;

6) линейно Û R È Id È R -1 = X ´ X .

Матрица бинарного отношения

Пусть A = {a 1 , a 2 , …, a m } и B = {b 1 , b 2 , …, b n } – конечные множества. Матрицей бинарного отношения R Í A ´ B называется матрица с коэффициентами:

Пусть A – конечное множество, |A | = n и B = A . Рассмотрим алгоритм вычисления матрицы композиции T = R ° S отношений R , S Í A ´ A . Обозначим коэффициенты матриц отношений R , S и T соответственно через r ij , s ij и t ij .

Поскольку свойство (a i ,a k )ÎT равносильно существованию такого a j Î A , что (a i ,a j )ÎR и (a j ,a k ) Î S , то коэффициент t ik будет равен 1, если и только если существует такой индекс j , что r ij = 1 и s jk = 1. В остальных случаях t ik равен 0. Следовательно, t ik = 1 тогда и только тогда, когда .

Отсюда вытекает, что для нахождения матрицы композиции отношений нужно перемножить эти матрицы и в полученном произведении матриц ненулевые коэффициенты заменить на единицы. Следующий пример показывает, как этим способом вычисляется матрица композиции.

Пример 2

Рассмотрим бинарное отношение на A = {1,2,3} , равное R = {(1,2),(2,3)} . Запишем матрицу отношения R . Согласно определению, она состоит из коэффициентов r 12 = 1, r 23 = 1 и остальных r ij = 0. Отсюда матрица отношения R равна:

Найдем отношение R ° R . С этой целью умножим матрицу отношения R на себя:

.

Получаем матрицу отношения:

Следовательно, R ° R = {(1,2),(1,3),(2,3)}.

Из предложения 1 вытекает следующее следствие.

Следствие 2

Если A = B , то отношение R на A :

1) рефлексивно, если и только если все элементы главной диагонали матрицы отношения R равны 1;

2) антирефлексивно, если и только если все элементы главной диагонали матрицы отношения R равны 0;

3) симметрично, если и только если матрица отношения R симметрична;

4) транзитивно, если и только если каждый коэффициент матрицы отношения R ° R не больше соответствующего коэффициента матрицы отношения R.

Человеку присуща потребность в общении, взаимодействии с другими людьми. Удовлетворяя эту потребность, он проявляет и реализует свои возможности.

Человеческая жизнь на всем ее протяжении проявляется, прежде всего, в общении. И все многообразие жизни отражается в столь же бесконечном многообразии общения: в семье, школе, на производстве, в быту, компаниях и т.д.

Общение - одна из универсальных форм активности личности, проявляющаяся в установлении и развитии контактов между людьми, в формировании межличностных отношений и порождаемая потребностями в совместной деятельности.

Общение выполняет целый ряд основных функций :

• Информационная - функция приема, передачи сведений;
• Контактная - установление контакта как состояния обоюдной готовности людей к приему и передачи информации;
• Побудительная - функция стимуляции активности к действию;
• Координационная - функция взаимного ориентирования и согласования действий;
• Понимания - предполагает не только прием информации, но и понимание этой информации друг другом;
• Амотивная - функция возбуждения в партнере нужных эмоций, переживаний, чувств, предполагает эмоциональный обмен, изменение эмоционального состояния;
• Функция установления отношений - осознание и фиксирование своего социального статуса, социальной роли в конкретной социальной общности.
• Функция оказания влияния - изменение состояния, поведения, намерений, представлений, установок, мнений, решений, потребностей, действий и т.д.

Наряду с функциями выделяют основные виды общения.

По количеству участников:

• межличностное;
• групповое.

По способу общения:

• вербальное;
• невербальное.

По положению общающихся:

• контактное;
• дистантное.

По условиям общения:

• официальное;
• неофициальное.

В структуре общения выделяют три тесно взаимосвязанные, взаимообусловленные стороны:

• Перцептивная сторона общения - процесс восприятия друг друга.
• Коммуникативная сторона общения предполагает передачу информации. При этом необходимо учитывать, что человек высказывает 80% от того, что хочет сказать, слушающий - воспринимает 70% и понимает 60% от сказанного.
• Интерактивная сторона общения предполагает организацию взаимодействия (согласованность действий, распределение функций и др.).

При организации общения необходимо учитывать, что оно проходит ряд этапов, каждый из которых влияет на его эффективность.

Если один из этапов общения выпадает, эффективность общения резко снижается и существует вероятность не достичь тех целей, которые ставились при организации общения. Умение эффективно достигать поставленных целей в общении называется коммуникабельностью, коммуникативной компетентностью, социальным интеллектом.

Пусть r Í Х х Y .

Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, у которого каждому элементу соответствует ровно один такой, что пара принадлежит отношению или такого не существует совсем : или.

Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, длякоторого выполняется: .

Всюду определённое отношение – бинарное отношение r , для которого D r =Х ("нет одиноких х ").

Сюръективное отношение – бинарное отношение r , для которого J r = Y ("нет одиноких y ").

Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным х соответствуют разные у .

Биекция – функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.

Например :

Пусть r = { (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 }.

Отношение r - функционально,

не всюду определено ("есть одинокие х "),

не инъективно (есть разные х, у ),

не сюръективно ("есть одинокие у "),

не биекция.

Например:

Пусть Ã= {(x,y) Î R 2 | y = x+1}

Отношение Ã- функционально,

Отношение Ã- всюду определено ("нет одиноких х "),

Отношение Ã- инъективно (нет разных х, которым соответствуют одинаковые у ),

Отношение Ã- сюръективно ("нет одиноких у "),

Отношение Ã- биективно, взаимно-однородное соответствие.

Например:

Пусть j={(1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)} задано на множестве N 4 .

Отношение j - не функционально, x=1 соответствует три y: (1,2), (1,3), (1,4)

Отношение j - не всюду определенно D j ={1,2,3}¹ N 4

Отношение j - не сюръективно I j ={1,2,3}¹ N 4

Отношение j - не инъективно, разным x соответствуют одинаковые y, например (2,3) и (1,3).

Задание к лабораторной работе

1. Заданы множества N1 и N2 . Вычислить множества:

(N1 хN2) Ç (N2 хN1) ;

(N1 хN2) È (N2 хN1) ;

(N1 Ç N2) x(N1 Ç N2) ;

(N1 È N2) x(N1 È N2) ,

где N1 = { цифры номера зачетной книжки, три последние};

N2 = { цифры даты и номера месяца рождения}.

2. Отношения r иg заданы на множествеN 6 ={1,2,3,4,5,6}.

Описать отношения r ,g ,r -1 , r ○g, r - 1 ○g списком пар.

Найти матрицы отношений r иg .

Для каждого отношения определить область определения и область значений.

Определить свойства отношений.

Выделить отношения эквивалентности и построить классы эквивалентности.

Выделить отношения порядка и классифицировать их.

1) r = { (m ,n ) | m > n }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}

2) r = { (m ,n ) | (m - n) делится на 2}

g = { (m ,n ) | m делитель n }

3) r = { (m ,n ) | m < n }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3}

4) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}

g = { (m ,n ) | m 2 =n }

5) r = { (m ,n ) | m / n - степень 2 }

g = { (m ,n ) | m = n }

6) r = { (m ,n ) | m / n - четно}

g = { (m ,n ) | m ³n }

7) r = { (m ,n ) | m / n - нечетно }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4}

8) r = { (m ,n ) | m * n - четно }

g = { (m ,n ) | m £n }

9) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 5}

g = { (m ,n ) | m делится наn }

10) r = { (m ,n ) | m - четно, n - четно}

g = { (m ,n ) | m делительn }

11) r = { (m ,n ) | m = n }

g = { (m ,n ) | (m + n) £5 }

12) r ={ (m ,n ) | m и n имеют одинаковый остаток от деления на 3}

g = { (m ,n ) | (m -n) ³2}

13) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 2 }

g = { (m ,n ) | 2 £(m -n) £4}

14) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 3 }

g = { (m ,n ) | m ¹n }

15) r = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель }

g = { (m ,n ) | m 2 £n }

16) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 2 }

g = { (m ,n ) | m < n +2 }

17) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4 }

g = { (m ,n ) | m £n }

18) r = { (m ,n ) | m делится нацело наn }

g = { (m ,n ) | m ¹n , m- четно}

19) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3 }

g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}

20) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 4 }

g = { (m ,n ) | m ¹n }

21) r = { (m ,n ) | m - нечетно, n - нечетно}

g = { (m ,n ) | m £n , n- четно}

22) r = { (m ,n ) | m и n имеют нечетный остаток от деления на 3 }

g = { (m ,n ) | (m -n) ³1}

23) r = { (m ,n ) | m * n - нечетно }

g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}

24) r = { (m ,n ) | m * n - четно }

g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}

25) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}

g = { (m ,n ) | m не делится нацело на n }

26) r = { (m ,n ) | m = n }

g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }

27) r = { (m ,n ) | (m - n)- четно}

g = { (m ,n ) | m делитель n }

28) r = { (m ,n ) | (m -n) ³2}

g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }

29) r = { (m ,n ) | m 2 ³ n }

g = { (m ,n ) | m / n - нечетно}

30) r = { (m ,n ) | m ³n, m - четно}

g = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель, отличный от 1}

3. Определить является ли заданное отношение f - функциональным, всюду определенным, инъективным, сюръективным, биекцией (R - множество вещественных чисел). Построить график отношения, определить область определения и область значений.

Выполнить это же задание для отношений r и g из пункта 3 лабораторной работы.

1) f={ (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x }

2) f={ (x, y) Î R 2 | x ³y }

3) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x }

4) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x, x ³ 0 }

5) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1 }

6) f={ (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1 }

7) f={ (x, y) Î R 2 | x + y £ 1 }

8) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 }

9) f={ (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1}

10) f={ (x, y) Î R 2 | y = -x 2 }

11) f={ (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1 }

12) f={ (x, y) Î R 2 | x = y -2 }

13) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 ³1, y > 0 }

14) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x > 0 }

15) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 £ 1, x > 0 }

16) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 ,x ³ 0 }

17) f={ (x, y) Î R 2 | y = sin(3x + p) }

18) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 /cos x }

19) f={ (x, y) Î R 2 | y = 2| x | + 3 }

20) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 2x + 1| }

21) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3 x }

22) f={ (x, y) Î R 2 | y = e -x }

23) f ={ (x, y) Î R 2 | y = e | x | }

24) f={ (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 }

25) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 }

26) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) }

27) f={ (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 }

28) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 4x -1| + 2 }

29) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 +2x-5)}

30) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 3 , y ³ - 2 }.

Контрольные вопросы

2.Определение бинарного отношения.

3.Способы описания бинарных отношений.

4.Область определения и область значений.

5.Свойства бинарных отношений.

6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.

7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.

8.Классы вычетов по модулю m.

9.Функциональные отношения.

10. Инъекция, сюръекция, биекция.

Лабораторная работа № 3

Отображение f множества X в множество Y считается заданным, если каждому элементу x из X сопоставлен ровно один элемент y из Y, обозначаемый f(x).

Множество X называется областью определения отображения f, а множество Y – областью значений . Множество упорядоченных пар

Г f = {(x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x)}

называют графиком отображения f. Непосредственно из определения вытекает, что график отображения f является подмножеством декартова произведения X×Y:

Строго говоря, отображение – это тройка множеств (X, Y, G) такая, что G⊂ X×Y, и каждый элемент x из X является первым элементом ровно одной пары (x, y) из G. Обозначая второй элемент такой пары через f(x), получаем отображение f множества X в множество Y. При этом G=Г f . Если y=f(x), мы будем писать f:x→y и говорить, что элемент x переходит или отображается в элемент y; элемент f(x) называется образом элемента x относительно отображения f. Для обозначения отображений мы будем использовать записи вида f: X→Y.

Пусть f: X→Y – отображение множества X в множество Y, а A и B – подмножества множеств X и Y соответственно. Множество f(A)={y| y=f(x) для некоторого x∈A} называется образом множества A. Множество f − 1 (B)={x| f(x) ∈B}

называется прообразом множества B. Отображение f: A→Y, при котором x→f(x) для всех x∈A, называется сужением отображения f на множество A; сужение будет обозначаться через f| A .

Пусть имеются отображения f: X→Y и g: Y→Z. Отображение X→Z, при котором x переходит в g(f(x)), называется композицией отображений f и g и обозначается через fg .

Отображение множества X в X, при котором каждый элемент переходит сам в себя, x→x , называется тождественным и обозначается через id X .

Для произвольного отображения f: X→Y имеем id X ⋅f = f⋅id Y .

Отображение f: X→Y называется инъективным , если для любых элементов из и следует, что . Отображение f: X→Y называется сюръективным , если всякий элемент y из Y является образом некоторого элемента x из X, то есть f(х)=у. Отображение f: X→Y называется биективным , если оно одновременно инъективно и сюръективно. Биективное отображение f: X→Y обратимо. Это означает, что существует отображение g: Y→X, называемое обратным к отображению f, такое, что g(f(x))=x и f(g(y))=y для любых x∈X, y∈Y. Отображение, обратное к отображению f, обозначается через f − 1 .

Обратимое отображение f: X→Y устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y. Инъективное отображение f: X→Y устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством X и множеством f(X).

Примеры . 1) Функция f:R→R >0, f (x)=e x , устанавливает взаимно однозначное соответствие множества всех действительных чисел Rс множеством положительных действительных чисел R >0 . Обратным к отображению f является отображение g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Отображение f:R→R ≥ 0 , f(x)=x 2 , множества всех действительных Rна множество неотрицательных чисел R ≥ 0 сюръективно, но не инъективно, и поэтому не является биективным.

Свойства функции:

1. Композиция двух функций есть функция, т.е. если , то .

2. Композиция двух биективных функций есть биективная функция, если , то .

3. Отображение имеет обратное отображение тогда и

тогда и только тогда, когда f –биекция, т.е. если , то .

Определение. n – местным отношением, или n – местным предикатом Р, на множествах А 1 ;А 2 ;…;А n называется любое подмножество декартова произведения .

Обозначение n - местного отношения P(x 1 ;x 2 ;…;x n). При n=1 отношение Р называется унарным и является подмножеством множества А 1 . Бинарным (двуместным при n=2) отношением называется множество упорядоченных пар.

Определение. Для любого множества А отношение называется тождественным отношением, или диагональю, а - полным отношением, или полным квадратом.

Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Тогда областью определения бинарного отношения Р называется множество для некоторого y}, а областью значений – множество для некоторого x}. Обратным к Р отношением называется множество .

Отношение Р называется рефлексивным, если оно содержит все пары вида (x,x) для любого x из X. Отношение Р называется антирефлексивным , если оно не содержит ни одной пары вида (x,x). Например, отношение x≤y рефлексивно, а отношение x

Отношение Р называется симметричным , если вместе с каждой парой (x,y) оно содержит также и пару (y,x). Симметричность отношения Р означает, что Р=Р –1 .

Отношение Р называется антисимметричным , если (x;y)и (y;x), то x=y.

Отношение R называется транзитивным, если вместе с любыми парами (x,y) и (y,z) оно содержит также и пару (x,z), то есть из xРy и yРz следует xРz.

Свойства бинарных отношений:

Пример. Пусть А={x/x – арабская цифра}; Р={(x;y)/x,yA,x-y=5}. Найти D;R;P -1 .

Решение. Отношение Р можно записать в виде Р={(5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)}, тогда для него имеем D={5;6;7;8;9}; Е={0;1;2;3;4}; P -1 ={(0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)}.

Рассмотрим два конечных множества и бинарное отношение . Введем матрицу бинарного отношения Р следующим образом: .

Матрица любого бинарного отношения обладает свойствами:

1. Если и , то , причем сложение элементов матрицы осуществляется по правилам 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, а умножение почленно обычным образом, т.е. по правилам 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Если , то , и матрицы умножаются по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов при умножении матриц находится по правилам п.1.

4. Если , то и

Пример. Бинарное отношение изображено на рис.2 Его матрица имеет вид .

Решение. Пусть , тогда ;

Пусть Р – бинарное отношение на множестве А, . Отношение Р на множестве А называется рефлексивным, если , где звездочками обозначены нули или единицы. Отношение Р называется иррефлексивным, если . Отношение Р на множестве А называется симметричным , если для и для из условия следует, что . Это значит, что . Отношение Р называется антисимметричным , если из условий и следует, что x=y, т.е. или . Это свойство приводит к тому, что у матрицы все элементы вне главной диагонали будут нулевыми (на главной диагонали тоже могут быть нули). Отношение Р называется транзитивным , если из и следует, что , т.е. .

Пример. Дано отношение Р и .Здесь на главной диагонали матрицы стоят все единицы, следовательно, Р – рефлексивно. Матрица несимметрична, тогда несимметрично и отношение Р

Т.к. не все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, то отношение Р не антисимметрично.

Т.е. , следовательно отношение Р – нетранзитивно.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности . Для обозначения отношений эквивалентности принято использовать символ ~. Условия рефлексивности, симметричности и транзитивности можно записать так:

Пример. 1) Пусть X – множество функций, определенных на всей числовой прямой. Будем считать, что функции f и g связаны отношением ~, если они принимают одинаковые значения в точке 0, то есть f(x)~g(x), если f(0)=g(0). Например, sinx~x, e x ~cosx. Отношение ~ рефлексивно (f(0)=f(0) для любой функции f(x)); симметрично (из f(0)=g(0) следует, что g(0)=f(0)); транзитивно (если f(0)=g(0) и g(0)=h(0), то f(0)=h(0)). Следовательно, ~ является отношением эквивалентности.

2) Пусть ~ – отношение на множестве натуральных чисел, при котором x~y, если x и y дают одинаковые остатки при делении на 5. Например, 6~11, 2~7, 1~6. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно и, значит, является отношением эквивалентности.

Отношением частичного порядка называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, т.е.

1. - рефлексифность;

2. - антисимметричность;

3. - транзитивность.

Отношением строгого порядка называется бинарное отношение на множестве, если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба эти отношения называются отношениями порядка . Множество, на котором задано отношение порядка, может быть: полностью упорядоченным множеством или частично упорядоченным . Частичный порядок важен в тех случаях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство, т.е. решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой. Частично упорядоченное множество называется линейно упорядоченным , если в нем нет несравнимых элементов, т.е. выполняется одно из условий или . Например, множества с естественным порядком на них являются линейно упорядоченными.

Общение всегда рассматривалось как полифункциональный процесс. Функции общения психологи определяют по разным критериям: эмоциональная, информационная, социализирующая, связующая, трансляционная, направленная на самопознание (А. В. Мудрик), установление общности, самоопределение (А. Б. Добрович), самовыражение (А. А. Брудный), сплочение и др. Чаще всего в психологии функции общения рассматривают в соответствии с моделью отношений "человек-деятельность-общество".

Можно выделить пять основных его функций: прагматическая, формирующая, подтверждающая, организация и поддержание межличностных отношений, внутриличностная (рис. 7).

В прагматической функции общение выступает как важнейшее условие объединения людей в процессе любой совместной деятельности. О том, какие разрушительные последствия для деятельности людей имеет невыполнение этого условия, повествуется в знаменитом библейском сюжете о строительстве Вавилонской башни.

Рис. 7.

Большая роль принадлежит формирующей функции общения. Общение ребенка и взрослого это не просто процесс передачи первому суммы умений, навыков и знаний, которые он механически усваивает, а сложный процесс взаимного влияния, обогащения и изменения. Жизненно необходимая роль общения ярко проявляется в следующем примере. В 30-х гг. XX в. в США был проведен эксперимент в двух клиниках, в которых дети лечились от серьезных, плохо излечимых заболеваний. Условия в обеих клиниках были одинаковые, но с некоторым различием: в одной больнице родственников к малышам не пускали, опасаясь инфекции, а в другой – в определенные часы родители могли пообщаться и поиграть с ребенком в специально отведенной комнате. Через несколько месяцев сравнили показатели эффективности лечения. В первом отделении коэффициент смертности приблизился к одной трети, несмотря на усилия врачей. Во втором отделении, где малышей лечили теми же средствами и методами, не умер ни один ребенок.

Функция подтверждения в процессе общения дает возможность познать, утвердить себя. Желая утвердиться в своем существовании и своей ценности, человек ищет точку опоры в другом человеке. Повседневный опыт человеческого общения изобилует процедурами, организованными по принципу подтверждения: ритуалы знакомства, приветствия, именования, оказание различных знаков внимания. Известный английский психиатр Р. Д. Лейнг видел в не подтверждении универсальный источник многих психических заболеваний, прежде всего – шизофрении.

Межличностная для любого человека связано с оцениванием людей и установлением определенных эмоциональных отношений – либо позитивных, либо негативных. Поэтому эмоциональное отношение к другому человеку может быть выражено в терминах "симпатии – антипатии", что накладывает свой отпечаток не только на личностное, но и на деловое общение.

Внутриличностная функция рассматривается как универсальный способ мышления человека. Л. С. Выготский отмечал в связи с этим, что "человек и наедине с самим собой сохраняет функцию общения".

Итак, ведущее значение общения в жизнедеятельности человека состоит в том, что оно является средством организации совместной деятельности людей и способом удовлетворения потребности человека в другом человеке, живом их контакте.

Общение как социально-психологический феномен – это контакт между людьми, который осуществляется посредством языка и речи, имеет разные формы проявления. Язык – система словесных знаков, средство, с помощью которого осуществляется общение между людьми. Использование языка с целью общения людей называют речью. В зависимости от особенностей общения выделяют различные его виды (рис. 8).

По контакту с собеседником общение может быть непосредственным и опосредованным.

Непосредственное общение (прямое) – это естественное общение, когда субъекты взаимодействия находятся рядом и общаются посредством речи, мимики и жестов.

Рис. 8.

Данный вид общения является наиболее полноценным, потому что индивиды в процессе его получают максимальную информацию друг о друге.

Опосредованное (косвенное) общение осуществляется в ситуациях, когда индивиды отдалены друг от друга временем или расстоянием. Например: разговор по телефону, переписка. Опосредованное общение это неполный психологический контакт, когда обратная связь затруднена.

Общение может быть межличностным или массовым. Массовое общение представляет собой множественные контакты незнакомых людей, а также коммуникацию, опосредованную различными видами массовой информации. Оно может быть прямым и опосредованным. Прямое массовое общение наблюдается на митингах, собраниях, демонстрациях, во всех больших социальных группах: толпе, публике, аудитории. Опосредованное массовое общение имеет односторонний характер и связано с массовой культурой и средствами массовой коммуникации.

По критерию равноправия партнеров в межличностном общении (рис. 9) выделяют два типа: диалогическое и монологическое.

Диалогическое общение – равноправное субъект-субъектное взаимодействие, имеющее целью взаимное познание, стремление к реализации целей каждого партнера.

Монологическое общение реализуется при неравноправных позициях партнеров и представляет собой субъект-объектные отношения. Оно может быть императивным и манипулятивным. Императивное общение – авторитарная, директивная форма взаимодействия с партнером с целью достижения контроля над его поведением, установками, мыслями и принуждения к определенным действиям или решениям. Причем цель эта не завуалирована. Манипулятивное общение – форма межличностного общения, при которой воздействие на партнера по общению осуществляется скрытно для достижения своих намерений.

Рис. 9.

Выделяют два типа коммуникаций – ролевую и личностную. В ролевом общении люди действуют, исходя из занимаемого статуса. Например, ролевым будет общение учителя с учениками, начальника цеха с рабочими и т.д. Ролевое общение регламентировано принятыми в обществе правилами и спецификой обращения. Личностное общение зависит от индивидуальных особенностей людей и взаимоотношений между ними.

Общение может быть кратковременным или длительным в зависимости от целей, содержания деятельности, индивидуальных особенностей собеседников, их симпатий, антипатий и т.д.

Обмен информацией может происходить посредством вербального и невербального взаимодействия. Вербальное общение происходит посредством речи, невербальное – с помощью паралингвистических средств передачи информации (громкость речи, тембр голоса, жесты, мимика, позы).

Общение осуществляется на разных уровнях. Уровни общения определяются общей культурой взаимодействующих объектов, их индивидуальными и личностными характеристиками, особенностями ситуации, социальным контролем, ценностными ориентациями общающихся, их отношением друг к другу (рис. 10).

Рис. 10.

Самый примитивный уровень общения – фатический (от лат. fatuus – глупый). Он предполагает простой обмен репликами для поддержания разговора, не имеет глубокого смысла. Такое общение необходимо в стандартизированных условиях либо определяется этикетными нормами.

Информационный уровень общения предполагает обмен интересной для собеседников новой информацией, являющейся источником эмоциональной, мыслительной, поведенческой активности человека.

Личностный уровень общения характеризует такое взаимодействие, при котором субъекты способны к глубокому самораскрытию и постижению сущности другого человека, самого себя и окружающего мира. Он построен на позитивном отношении к себе, другим людям и окружающему миру в целом. Это высший духовный уровень общения.