Положительные и отрицательные числа изучаются в самом начале курса математики, в шестом классе. Хотя дальнейшее обучение требует постоянно работать с этими числами, неудивительно, что по прошествии времени некоторые мелочи забываются - и люди начинают совершать грубые ошибки.
Умножение и деление - одни из самых частых действий с числами, имеющими разные знаки. Разберемся и вспомним, как нужно перемножать и делить такие числа между собой, ставя в ответе правильный знак.
Умножение чисел с разными знаками
Это правило - одно из самых простых в арифметике.
- Если перед нами есть некое положительное число «а», и его требуется умножить на отрицательное число «z», то мы просто перемножаем числа - а потом ставим перед результатом знак «минус».
- Можно сказать и так - чтобы умножить друг на друга числа с разными знаками, нужно перемножить между собой модули множителей, а потом вернуть знак «минус» в ответ.
Для утверждения справедлива следующая цифровая запись: -а*z = - (|а|*|z|). Также напомним, что для нуля действуют особые правила - если на него умножается какое-либо число, положительное или отрицательное, ответ в любом случае будет равен нулю.
Возьмем пару простых примеров.
- Если выражение выглядит, как – 5*6, то решать его нужно следующим образом: -5*6 = - (|5|*|6|) = - 30.
- Если выражение следующего типа - - 7*0, то в ответе сразу пишется 0.
Деление чисел с разными знаками
Для таких случаев тоже действует очень простое правило. Оно похоже на предыдущее - если задача требует разделить «–а» на «b», или «a» на «–b», то для начала мы берем модули чисел, их абсолютные значения, и совершаем процесс деления безо всякой перестановки делимого и делителя.
Таким образом находится частное - а затем к нему добавляется знак «минус». Неважно, выступает ли в роли делимого отрицательное число, или наоборот, мы делим число со знаком «плюс» на отрицательное - ответ всегда будет со знаком «минус». Иначе говоря, числовым методом мы записываем это так: -a: b = - (|a| : |b|).
Например, - 10: 2 = - (10:2) = - 5, или 21: (-3) = - (21:3) = - 7. В конечном итоге деление совсем не сложное и сводится к привычным нам действиям над модулями чисел.
И точно так же, как в предыдущем случае, на особенном положении находится нуль. Его присутствие в выражении автоматически дает нуль в ответе. И неважно, это 0:а или а:0 - и попытка деления нуля, и деление на нуль дают одинаковый результат.
В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками . Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.
Навигация по странице.
Правило деления чисел с разными знаками
В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками . Его можно распространить и на рациональные числа , и на действительные числа , повторив все рассуждения из указанной статьи.
Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.
Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .
Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.
Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.
Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b , нужно число a умножить на число b −1 , обратное числу b . То есть, a:b=a·b −1 .
Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.
Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.
Это же правило используется при делении отрицательных чисел .
Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.
Примеры деления чисел с разными знаками
Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками , чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.
Пример.
Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7 .
Решение.
Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35 , а модуль числа 7 равен 7 . Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7 . Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел , получаем 35:7=5 . Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5 .
Вот все решение: .
Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7 . Этим числом является обыкновенная дробь 1/7 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками : . Очевидно, мы пришли к такому же результату.
Ответ:
(−35):7=−5 .
Пример.
Вычислите частное 8:(−60) .
Решение.
По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4 , получаем .
Запишем все решение кратко: .
Ответ:
.
При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.
Пример.
Решение.
Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23) . Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.
Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь : , а также
Класс: 6
«Знание – это набор фактов. Мудрость – умение их использовать»
Цель урока:
1) выведение правила умножения положительных и отрицательных чисел; способы применения этих правил в простейших случаях;
2) развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
3) поиск различных способов и методов решения практических задач;
4) составить мини – проект. Информационный бюллетень.
Оборудование: модель термометра, карточки для взаимотренажера, проектер.
Ход урока
Приветствие. Узнать какую новую тему мы рассмотрим сегодня, нам поможет устный счет. Вычислите примеры, ответы замените буквами, используя «число – буква».
Слайд №1 Немного подумайте
Слайд №2 Кто это?
Индийский математик Брахмагупта, живший в VII веке, положительные числа представлял как «имущества», отрицательные числа как «долги».
Правила сложения положительных и отрицательных чисел он выражал так:
«Сумма двух имуществ – имущество»:
«Сумма двух долгов есть долг»:
А мы узнаем правило после того, как рассмотрим тему «Умножение отрицательных и положительных чисел»
Ваша задача научиться умножать положительные и отрицательные, а также перемножать отрицательные числа.
Мы составим мини – проект.
Мини-проект.
Информационный бюллетень
«Умножение положительных и отрицательных чисел»
Работа в группах (4 группы). (Действие помещаем в математический тренажер)
Задача 1 (1 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру он покажет через три часа? Изобразите это на координатной прямой. Приведите подобные примеры. Сделайте вывод и обобщите.
Решение:
Так как сейчас температура ноль градусов и за каждый час она понижается на 2 градуса, то за 3 часа она будет равна -6,
(-2)·3=-(2·3)=-6
Задача 1 (2 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад? Изобразите это на координатной прямой. Сделайте вывод.
Решение:
Так как температура каждый час понижается на два градуса, а сейчас ноль градусов, то 3 часа назад она была равно +6.
(-2)·(-3)=2·3=6
Задача 1 (3 группа)
Фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход ткани на один костюм изменила на -0,4 м2. На сколько изменился расход ткани на костюмы за день?
Решение:
Это значит, что расход ткани на костюмы за день изменился на – 80.
(-0,4)·200=-(0,4·200)=-80.
Задача 1 (4 группа)
Температура воздуха понижается каждый час на два градуса. Сейчас термометр показывает ноль градусов. Какую температуру воздуха показывал термометр 4 часа назад?
Решение:
Так как температура каждый час понижается на два градуса, а сейчас ноль градусов, то 4 часа назад она была равна +8, то есть
(-2)·(-4)=2·4=8
Выводы (учащиеся информацию заносят в макет информационного бюллетеня).
Слайд №4 Хорошенько подумайте
Первичное осмысление и применение изученного.
Работа с таблицей у доски и на местах (используя макет информационного бюллетеня).
Повторяем правило (вопросы задают ученики).
Работа с учебником:
- 1 ученик: №1105 (ж, з, и) 2 ученик: №1105 (к, л, м)
- № 1107 (работаем по группам) 1 группа: а), г);
2 группа: б), д);
3 группа: в), г).
Физкультминутка (2 мин.)
Повторяем правило на уравнение положительных и отрицательных чисел.
Слайд №5 Задача 2
Задание 2 (всем группам одинаковое).
Примените переместительное и сочетательное свойство, выполните произведение нескольких чисел и сделайте вывод:
Если число отрицательных множителей четное, то произведение – число _?_
Если число отрицательных множителей нечетное, то произведение – число _?_
Занести ещё одну информацию в макет информационного бюллетеня.
Слайд №6 Правило знаков.
Определите знак произведения:
1) «+»·«-»·«-»·«+»·«-»·«-»
2) «-»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«+»·«-»·«-»
3) «-»·«+»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«-»·«+»·«-»·«-»·«+»
Итак, пройдемся по всему бюллетеню и повторим правила применение их к решению заданий по карточки.
Тренажер (4 варианта).
Проверь себя.
Ответы к карточкам.
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант | 4 вариант | |
1) | 18 | 20 | 24 | 18 |
2) | -20 | -18 | -18 | -24 |
3) | -24 | 16 | 24 | 18 |
4) | 15 | -15 | 1 | -2 |
5) | -4 | 0 | -5 | 0 |
6) | 0 | 2 | 2 | -5 |
7) | -1 | -3 | -1,5 | -3 |
8) | -0,8 | -3,5 | -4,8 | 3,6 |
§ 1 Умножение положительных и отрицательных чисел
В этом уроке познакомимся с правилами умножения и деления положительных и отрицательных чисел.
Известно, что любое произведение можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых.
Cлагаемое -1 нужно сложить 6 раз:
(-1)+(-1)+(-1) +(-1) +(-1) + (-1) =-6
Значит произведение -1 и 6 равно -6.
Числа 6 и -6 -противоположные числа.
Таким образом, можно сделать вывод:
При умножении -1 на натуральное число получится противоположное ему число.
Для отрицательных чисел, так же как для положительных, выполняется переместительный закон умножения:
Если натуральное число умножить на -1, то также получится противоположное число
При умножении любого неотрицательного числа на 1 получится это же число.
Например:
Для отрицательных чисел данное утверждение тоже верно: -5 ∙1 = -5; -2 ∙ 1 = -2.
При умножении любого числа на 1 получится это же число.
Мы уже убедились, что при умножении минус 1 на натуральное число получится противоположное ему число. При умножении отрицательного числа данное утверждение тоже справедливо.
Например: (-1) ∙ (-4) = 4.
Также -1 ∙ 0 = 0, число 0 противоположно само себе.
При умножении любого числа на минус 1 получится противоположное ему число.
Перейдем к другим случаям умножения. Найдем произведение чисел -3 и 7.
Отрицательный множитель -3 можно заменить произведением -1 и 3. Тогда можно применить сочетательный закон умножения:
1 ∙ 21 = -21, т.е. произведение минус 3 и 7 равно минус 21.
При умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.
А чему равно произведение чисел с одинаковыми знаками?
Мы знаем, что при умножении двух положительных чисел получится положительное число. Найдем произведение двух отрицательных чисел.
Заменим один из множителей произведением с множителем минус 1.
Применим выведенное нами правило, при умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей,
получится -80.
Сформулируем правило:
При умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.
§ 2 Деление положительных и отрицательных чисел
Перейдем к делению.
Подбором найдем корни следующих уравнений:
y ∙ (-2) = 10. 5 ∙ 2 = 10, значит х = 5; 5 ∙ (-2) = -10, значит а = 5; -5 ∙ (-2) = 10, значит y = -5.
Запишем решения уравнений. В каждом уравнении неизвестен множитель. Неизвестный множитель находим, разделив произведение на известный множитель, значения неизвестных множителей мы уже подобрали.
Проанализируем.
При делении чисел с одинаковыми знаками (а это первое и второе уравнения) получается положительное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя.
При делении чисел с разными знаками (это третье уравнение) получается отрицательное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя. Т.е. при делении положительных и отрицательных чисел знак частного определяется по тем же правилам, что знак произведения. А модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
Таким образом, мы сформулировали правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. – Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений./Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
- Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
- Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru
В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.
Деление отрицательных чисел. Правило
Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .
Правило деления отрицательных чисел
Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.
Пусть a и b - отрицательные числа. Тогда
a ÷ b = a ÷ b .
Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.
Приведем еще одну формулировку данного правила, подходящую для рациональных и действительных чисел. Она дается с помощью взаимно-обратных чисел и гласит: для деления отрицательного числа a на число undefined умножить на число b - 1 , обратное числу b .
a ÷ b = a · b - 1 .
Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.
Равенство a ÷ b = a · b - 1 можно доказать, используя свойство умножения действительных чисел и определение взаимно обратных чисел. Запишем равенства:
a · b - 1 · b = a · b - 1 · b = a · 1 = a .
В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.
Пример 1. Как делить отрицательные числа
Разделим - 18 на - 3 .
Модули делителя и делимого соответственно равны 3 и 18 . Запишем:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
Пример 2. Как делить отрицательные числа
Разделим - 5 на - 2 .
Аналогично, записываем по правилу:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.
5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.
Пример 3. Как делить отрицательные числа
Разделим - 0 , 004 на - 0 , 25 .
Сначала записываем модули этих чисел: 0 , 004 и 0 , 25 .
Теперь можно выбрать один из двух способов:
- Разделить десятичные дроби столбиком.
- Перейти к обыкновенным дробям и выполнить деление.
Разберем оба способа.
1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.
Ответ: - 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 0 , 016
2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.
0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016
Полученные результаты совпадают.
В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.
Пример 4. Как делить отрицательные числа
Вычислим частное от деления чисел - 0 , 5 и - 5 .
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter