Абсолютная и относительная погрешность
Элементы теории погрешностей
Точные и приближенные числа
Точность числа, как правило, не вызывает сомнений, когда речь идет о целых значениях данных(2 карандаша, 100 деревьев). Однако, в большинстве случаев, когда точное значение числа указать невозможно (например, при измерении предмета линейкой, снятии результатов с прибора и т.п.), мы имеем дело с приближенными данными.
Приближенным значениемназывается число, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного значения числа от его точного значения характеризуется погрешностью .
Различают следующие основные источники погрешностей:
1. Погрешности постановки задачи , возникающие в результате приближенного описания реального явления в терминах математики.
2. Погрешности метода , связанные с трудностью или невозможностью решения поставленной задачи и заменой ее подобной, такой, чтобы можно было применить известный и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому.
3. Неустранимые погрешности , связанные с приближенными значениями исходных данных и обусловленные выполнением вычислений над приближенными числами.
4. Погрешности округления , связанные с округлением значений исходных данных, промежуточных и конечных результатов, получаемых с применением вычислительных средств.
Абсолютная и относительная погрешность
Учет погрешностей является важным аспектом применения численных методов, поскольку погрешность конечного результата решения всей задачи является продуктом взаимодействия всех видов погрешностей. Поэтому одной из основных задач теории погрешностей является оценка точности результата на основании точности исходных данных.
Если – точное число и – его приближенное значение, то погрешностью (ошибкой) приближенного значения является степень близости его значения к его точному значению .
Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность, которая определяется как
(1.1.2-1)
Как видно из формулы 1.1.2-1, абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и величина . Поэтому по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Например, если , а речь идет о детали станка, то измерения являются очень грубыми, а если о размере судна, то – очень точными. В связи с этим введено понятие относительной погрешности, в котором значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения ().
(1.1.2-2)
Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных. Относительная погрешность измеряется в долях или процентах. Так, например, если
,а , то , а если и ,
то тогда .
Чтобы численно оценить погрешность функции, требуется знать основные правила подсчета погрешности действий:
· при сложении и вычитании чисел абсолютные погрешности чисел складываются
· при умножении и делении чисел друг на друга складываются их относительные погрешности
· при возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени
Пример 1.1.2-1. Дана функция: . Найти абсолютную и относительную погрешности величины (погрешность результата выполнения арифметических операций), если значения известны, а 1 – точное число и его погрешность равна нулю.
Определив, таким образом, значение относительной погрешности, можно найти значение абсолютной погрешности, как , где величина вычисляется по формуле при приближенных значениях
Поскольку точное значение величины обычно неизвестно, то вычисление и по приведенным выше формулам невозможно. Поэтому на практике проводят оценку предельных погрешностей вида:
(1.1.2-3)
где и – известные величины, которые являются верхними границами абсолютной и относительной погрешностей, иначе их называют – предельная абсолютная и предельная относительная погрешности. Таким образом, точное значение лежит в пределах:
Если величина известна, то , а если известна величина , то
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ
Измерения и погрешности измерений
Физика - наука экспериментальная, это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума заключается в том, чтобы студенты изучили на опыте основные физические явления, научились правильно измерять числовые значения физических величин и сопоставлять их с теоретическими формулами.
Все измерения можно разделить на два вида – прямые икосвенные .
При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно получается по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.
Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .
Измерение любой величины не дает абсолютно точного значения этой величины. Каждое измерение всегда содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением.
Ошибки принято делить на систематические и случайные .
Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или методом измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующей поправки.
К систематическим ошибкам относятся также погрешность измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом точности, который, как правило, обозначен на измерительной шкале.
Случайной называется ошибка, которая изменяется в разных опытах и может быть и положительной и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т. п..), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.).
Случайные ошибки нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И СРЕДНЯЯ АБСОЛЮТНАЯ ОШИБКА.
Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений:
Х 1 , Х 2 , Х 3 … Х n
В качестве результата измерений обычно принимают среднее значение
Разность между средним значением и результатом i – го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения
В качестве меры ошибки среднего значения можно принять среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения
(2)
Величина
называется средней арифметической (или
средней абсолютной) ошибкой.
Тогда результат измерений следует записать в виде
(3)
Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах
(4)
СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧНАЯ ОШИБКА.
При ответственных измерениях, когда необходимо знать надежность полученных результатов, используется средняя квадратичная ошибка (или стандартное отклонение), которая определяется формулой
(5)
Величина характеризует отклонение отдельного единичного измерения от истинного значения.
Если мы вычислили
по n
измерениям среднее значение
по формуле (2), то это значение будет
более точным, то есть будет меньше
отличаться от истинного, чем каждое
отдельное измерение. Средняя квадратичная
ошибка среднего значения
равна
(6)
где - среднеквадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.
Таким образом, увеличивая число опытов, можно уменьшить случайную ошибку в величине среднего значения.
В настоящее время результаты научных и технических измерений принято представлять в виде
(7)
Как показывает
теория, при такой записи мы знаем
надежность полученного результата, а
именно, что истинная величина Х
с
вероятностью 68% отличается отне более, чем на
.
При использовании же средней арифметической (абсолютной) ошибки (формула 2) о надежности результата ничего сказать нельзя. Некоторое представление о точности проведенных измерений в этом случае дает относительная ошибка (формула 4).
При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).
Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки среднего (формулы 5 и 6).
УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК.
Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.
Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм; для измерений штангенциркулем –
0,1 – 0,05 мм; микрометром – 0,01 мм.
Часто в качестве систематической ошибки берется половина цены деления прибора.
На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ∆Х по формуле
где К – класс точности прибора, Х пр – предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.
Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более
Погрешность цифрового прибора равна единице наименьшего индицируемого разряда.
Среднее значение полной погрешности складывается из случайной исистематической погрешностей.
Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде
ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
В физических экспериментах чаще бывает так, что искомая физическая величина сама на опыте измерена быть не может, а является функцией других величин, измеряемых непосредственно. Например, чтобы определить объём цилиндра, надо измерить диаметр D и высоту h , а затем вычислить объем по формуле
Величины D иh будут измерены с некоторой ошибкой.Следовательно, вычисленная величина V получится также с некоторой ошибкой. Надо уметь выражать погрешность вычисленной величины через погрешности измеренных величин.
Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.
Пусть искомая величина φ является функцией нескольких переменных Х, У, Z …
φ(Х, У, Z …).
Путем прямых
измерений мы можем найти величины
,
а также оценить их средние абсолютные
ошибки
…
или средние квадратичные ошибки Х,
У,
Z …
Тогда средняя арифметическая погрешность вычисляется по формуле
где
- частные
производные от φ по
Х, У,
Z
.
Они
вычисляются для средних значений
…
Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле
Пример. Выведем формулы погрешности для вычисления объёма цилиндра.
а) Средняя арифметическая погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой D и h.
б) Средняя квадратичная погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой D , h .
Погрешность величины объёма будет равна
Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность. Для этого (в случае средней арифметической погрешности) надо проделать следующее.
1. Прологарифмировать выражение.
2. Продифференцировать его.
3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.
4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.
5. Заменить значки дифференциалов d на значки абсолютной погрешности .
В итоге получится формула для относительной погрешности
Затем, зная , можно вычислить абсолютную погрешность
=
Пример.
Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность
Правила представления результатов измерения следующие:
погрешность должна округляться до одной значащей цифры:
правильно = 0,04,
неправильно - = 0,0382;
последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:
правильно = 9,830,03,
неправильно - = 9,8260,03;
если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата:
правильно - = (5,270,03)10 -5 ,
неправильно - = 0,00005270,0000003,
= 5,2710 -5 0,0000003,
= = 0,0000527310 -7 ,
= (5273)10 -7 ,
= (0,5270,003) 10 -4 .
Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:
правильно – g=(9,820,02) м/c 2 ,
неправильно – g=(9,820,02).
Правила построения графиков
1. Графики строятся на миллиметровой бумаге.
2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией. Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х ), значения функции - на оси ординат (ось у ).
3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.
4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.
5. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их (крестиком, кружочком, жирной точкой).
6. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой.
Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.
Случайные погрешности при прямых измерениях
Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:
Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:
.
Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:
(2)
называется средней абсолютной погрешностью .
Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:
. (3)
Приборные погрешности при прямых измерениях
Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).
Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).
Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:
Например:
и
,
где U max и I max – предел измерения прибора.
Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.
После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.
Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).
Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:
X = f(a ,b ,c …).
Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a , b , c …). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c + d ).
Дифференциал этого выражения имеет вид:
.
Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:
=
.
(4)
Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:
Х = Х(5)
Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:
1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.
2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.
3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:
X = f(a ,b ,c …).
4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).
5) Рассчитывают относительную погрешность = .
6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).
7) Окончательный результат записывают в виде:
Х = Х ср Х |
Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a+ b | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a+ b | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При практическом осуществлении процесса измерений независимо от точности средств измерений, правильности методики и тщательности 4.1. Абсолютные и относительные погрешностиАбсолютная погрешность
D - это разность между измеренным X и истинным Xи значениями измеряемой величины. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины: D = Х - Хи. 4.2. Погрешности инструментальные и методические,
|
Значения квантилей распределения Стьюдента t(n) при доверительнойвероятности Рд |
||||||||||
Оценка погрешностей результатов косвенных измерений.
При косвенных измерениях искомая величина А
функционально связана с одной или несколькими непосредственно измеряемыми величинами: х,
y
,...,
t
.
Рассмотрим простейший случай определения погрешности при одной переменной, когда A
=
F
(x
).
Обозначив абсолютную погрешность измерения величины х
через ±Dx , получим A+
DA
= F(x±
Dx).
Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и пренебрегая членами разложения, содержащими Dх в степени выше первой, получим
A+DA » F(x) ± Dx или DA » ± Dx.
Относительная ошибка измерения функции определится из выражения
.
Если измеряемая величина А
является функцией нескольких переменных: A=
F(x,
y,...,
t),
то абсолютная погрешность результата косвенных измерений
.
Частные относительные погрешности косвенного измерения определяются по формулам ; и т. д. Относительная погрешность результата измерений
.
Остановимся также на особенностях оценки результата косвенного измерения при наличии случайной погрешности.
Для оценки случайной погрешности результатов косвенных измерений величины А
будем полагать, что систематические погрешности измерений величин x, y,…, t
исключены, а случайные погрешности измерения этих же величин не зависят друг от друга.
При косвенных измерениях значение измеряемой величины находят по формуле ,
где - средние или средние взвешенные значения величин x, y,…, t .
Для вычисления среднего квадратического отклонения значения измеряемой величины А
целесообразно использовать средние квадратические отклонения, полученные при измерениях x, y,…, t .
В общем виде для определения среднего квадратического отклонения s косвенного измерения служит следующая формула:
, (4.7)
где Dx ;
Dy ;…;
Dt —
так называемые частные погрешности косвенного измерения ; ; …; ; ; ; … ; —
частные производные А
по x, y,…, t ;
sx
; s
y ,…,
st , …—
средние квадратические отклонения результатов измерений величин x, y,…, t .
Рассмотрим некоторые частные случаи применения уравнения (4.7), когда функциональная зависимость между косвенно и непосредственно измеряемыми величинами выражается формулой A =
k
×
x
a
×
y
b
×
z
g ,
где k -
числовой коэффициент (безразмерный).
В этом случае формула (4.7) примет следующий вид:
.
Если a =
b =
g = 1
и A =
k
×
x
×
y
×
z,
то формула относительной погрешности упрощается до вида .
Эта формула применима, например, для вычисления среднего квадратического отклонения результата измерения объема по результатам измерения высоты, ширины и глубины резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.
4.5. Правила суммирования случайных и систематических погрешностей
Погрешность сложных измерительных приборов зависит от погрешностей отдельных его узлов (блоков). Погрешности суммируются по определенным правилам.
Пусть, например, измерительный прибор состоит из m
блоков, каждый из которых обладает независимыми друг от друга случайными погрешностями. При этом известны абсолютные значения средних квадратических sk или максимальных М
k
погрешностей каждого блока.
Арифметическое суммирование или дает максимальную погрешность прибора, которая имеет ничтожно малую вероятность и поэтому редко используется для оценки точности работы прибора в целом. Согласно теории ошибок результирующая погрешность sрез и Мрез
определяется сложением по квадратическому закону или .
Аналогично определяется и результирующая относительная погрешность измерения: . (4.8)
Уравнение (4.8) можно использовать для определения допустимых погрешностей отдельных блоков разрабатываемых приборов с заданной общей погрешностью измерения. При конструировании прибора обычно задаются равными погрешностями для отдельных входящих в него блоков. Если существует несколько источников погрешностей, которые на конечный результат измерения влияют неодинаково (или прибор состоит из нескольких блоков с разными погрешностями), в формулу (4.8) следует ввести весовые коэффициенты ki
:
, (4.9)
где d1, d2, … , dm — относительные погрешности отдельных узлов (блоков) измерительного прибора; k1,
k2, … ,
km
- коэффициенты, учитывающие степень влияния случайной погрешности данного блока на результат измерения.
При наличии у измерительного прибора (или его блоков) также и систематических погрешностей общая погрешность определяется их суммой:. Такой же подход справедлив и для большего числа составляющих.
При оценке влияния частных погрешностей следует учитывать, что точность измерений в основном зависит от погрешностей, больших по абсолютной величине, а некоторые наименьшие погрешности можно вообще не учитывать. Частная погрешность оценивается на основании так называемого критерия ничтожной погрешности,
который заключается в следующем. Допустим, что суммарная погрешность dрез определена по формуле (4.8) с учетом всех m
частных погрешностей, среди которых некоторая погрешность di имеет малое значение. Если суммарная погрешность d¢рез, вычисленная без учета погрешности di, отличается от dрез не более чем на 5 %, т.е. dрез-d¢рез< 0,05×dрез или 0,95×dрез
4.6. Формы представления результатов измерения
Результат измерения имеет ценность лишь тогда, когда можно оценить его интервал неопределенности, т.е. степень достоверности. Поэтому результат измерений должен содержать значение измеряемой величины и характеристики точности этого значения, которыми являются систематические и случайные погрешности. Количественные показатели погрешностей, способы их выражения, а также формы представления результатов измерений регламентируются ГОСТ 8.011-72 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений». Рассмотрим основные формы представления результатов измерений.
Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется погрешностью используемых средств измерений. Поэтому в первом приближении погрешность результата измерения можно принять равной
погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерений.
Погрешности средств измерений изменяются в диапазоне измерений. Поэтому в каждом случае, для каждого измерения необходимо произвести вычисления погрешности результата измерений, используя формулы (3.19) - (3.21) нормирования погрешности соответствующего средства измерений. Вычисляться должна как абсолютная, так и относительная погрешности результата измерения, так как первая из них нужна для округления результата и его правильной записи, а вторая — для однозначной сравнительной характеристики его точности.
Для разных характеристик нормирования погрешностей СИ эти вычисления производятся по-разному, поэтому рассмотрим три характерных случая.
1. Класс прибора указан в виде одного числа q,
заключенного в кружок. Тогда относительная погрешность результата (в процентах) g = q,
а абсолютная его погрешность Dх =
q
×
x/
100.
2. Класс прибора указан одним числом p
(без кружка). Тогда абсолютная погрешность результата измерения Dх =
p
×
xk /
100, где x
k
— предел измерения, на котором оно производилось, а относительная погрешность измерения (в процентах) находится по формуле ,
т е. в этом случае при измерении, кроме отсчета измеряемой величины х
обязательно должен быть зафиксирован и предел измерений x
k ,
иначе впоследствии нельзя будет вычислить погрешность результата.
3. Класс прибора указан двумя числами в виде c/d
. В этом случае удобнее вычислить относительную погрешность d
результата по формуле (3.21), а уже затем найти абсолютную погрешность как D
x =
d
×
x/100
.
После проведения вычислений погрешности используют одну из форм представления результата измерений в следующем виде: х;
±
D
и d
, где х
- измеренное значение; D
- абсолютная погрешность измерения; d
-относительная погрешность измерения. Например, производится следующая запись: «Измерение произведено с относительной погрешностью d
= … %. Измеренное значение х = (А
±
D)
, где А
- результат измерений».
Однако более наглядно указать пределы интервала неопределенности измеряемой величины в виде: x = (A-
D)
¸(A+
D)
или (A-
D)
< х
< (A+
D)
с указанием единиц измерения.
Другая форма представления результата измерения устанавливается в следующем виде: х
; D
от Dн
доDв; Р,
где х
- результат измерения в единицах измеряемой величины; D ,
Dн,
Dв
- соответственно погрешность измерения с нижней и верхней её границами в тех же единицах; Р
- вероятность, с которой погрешность измерения находится в этих границах.
ГОСТ 8.011-72 допускает и другие формы представления результатов измерения, отличающиеся от приведенных форм тем, что в них указывают раздельно характеристики систематической и случайной составляющих погрешности измерения. При этом для систематической погрешности указывают её вероятностные характеристики. В этом случае основными характеристиками систематической погрешности являются математическое ожидание М[
Dхс
], среднеквадратическое отклонение s[Dхс
] и ее доверительный интервал. Выделение систематической и случайной составляющих погрешности целесообразно, если результат измерения будет использован при дальнейшей обработке данных, например, при определении результата косвенных измерений и оценке его точности, при суммировании погрешностей и т. п.
Любая из форм представления результата измерения, предусмотренная ГОСТ 8.011-72, должна содержать необходимые данные, на основании которых может быть определен доверительный интервал для погрешности результата измерения. В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известны вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона.
Часто в жизни нам приходится сталкиваться с различными приближенными величинами. Приближенные вычисления - всегда вычисления с некоторой погрешностью.
Понятие абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность приближенного значения это модуль разности точного значения и приближенного значения.
То есть из точного значения нужно вычесть приближенное значение и взять полученное число по модулю. Таким образом, абсолютная погрешность всегда величина положительная.
Как вычислять абсолютную погрешность
Покажем, как это может выглядеть на практике. Например, у нас имеется график некоторой величины, пускай это будет парабола: y=x^2.
По графику мы сможем определить приблизительное значение в некоторых точках. Например, при x=1.5 значение у приблизительно равно 2.2 (y≈2.2).
По формуле y=x^2 мы можем найти точное значение в точке x=1.5 у= 2.25.
Теперь вычислим абсолютную погрешность наших измерений. |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.
Абсолютная погрешность равна 0.05. В таких случаях еще говорят значение вычислено с точность до 0.05.
Часто бывает так, что точное значение не всегда можно найти, а, следовательно, абсолютную погрешность не всегда возможно найти.
Например, если мы будем вычислять расстояние между двумя точками с помощью линейки, или значение угла между двумя прямыми с помощью транспортира, то мы получим приближенные значения. А вот точное значение вычислить невозможно. В данном случае, мы можем указать такое число, больше которого значение абсолютной погрешности быть не может.
В примере с линейкой это будет 0.1 см, так как цена деления на линейке 1 миллиметр. В примере для транспортира 1 градус потому, что шкала транспортира проградуирована через каждый градус. Таким образом, значения абсолютной погрешности в первом случае 0.1, а во втором случае 1.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: